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2020-07-07 野蛮な解法(その29の続き)

【5】 ケイリーの公式は、計算上は一般的に成立するが、実用上、ペル方程式の解法に役立つのは一定の場合に限られる。

〔悪い例〕 d = 11 とする。T2 − 11U2 = 4 の最小解は:
202 − 11 × 62 = 4 (ガ)
これに (V) を適用すると:
39702 − 11 × 11972 = 1 (ク)
(ク)は d = 11 の場合のペル方程式の解の一つだが、最小解
102 − 11 × 32 = 1 (カ)
とは異なる。右辺4の場合の最小解からスタートしたのに、右辺1の場合の最小解(カ)ではなく、ややこしい(ク)が出てきてしまった。何が悪かったのか。そもそも(ガ)の各項は 4 = 22 の倍数なのだから、単に(ガ)の両辺を4で割れば(カ)になっていた。公式からも【4】の証明からも明らかなように、(V) ではもともとの解が大ざっぱに3乗される。下手に使うと、最小解ではなく第3解が出てきてしまう。T = 20, U = 6 のように両方偶数の場合、この公式を使うのではなく、単にそれらの偶数を2で割ればいい(平方された結果としては、4で割ることに相当)。t, u が両方偶数の場合についても、(IV) から明白なように T, U が両方偶数になるので、同じこと。本筋と関係ないが、参考までに(カ)と(ク)の間にある第2解は:
1992 − 11 × 602 = 1 (キ)

〔別の種類の悪い例〕 d = 12 とする。T2 − 12U2 = 4 の最小解は:
42 − 12 × 12 = 4
これに (V) を適用すると:
262 − 12 × (15/2)2 = 1
…計算は合っているが、整数解を求めたいのだから、これでは役立たない。T, U がそれぞれ偶数・奇数の場合、(V) を適用すると y 側に2分の1の端数が生じてしまう。t, u がそれぞれ偶数・奇数の場合も (IV) を適用すると (V) において同じ状態に。では T, U ないし t, u がそれぞれ奇数・偶数 の場合はどうか。その場合、
T2 − dU2
のような式は「奇数マイナス偶数」で値が奇数。偶数である ±4 になり得ない。

結局、両方偶数も駄目だし、片方だけ偶数も駄目。ケイリーの公式が奏功するとすれば、T, U などが両方とも奇数の場合である。例えば
2612 − 109 × 252 = −4
のような形が得られたなら、見込みがある。

【6】 上記のことから、公式の適用条件をもっと具体的に限定できる。mod 8 で考えると、(V) が有用なのは
T2 − dU2 ≡ 4 (mod 8) (*)
において T, U がどちらも 1, 3, 5, 7 (mod 8) のどれかになる場合だが、これら16通りの組み合わせに対して、d ≡ 0, 1, 2, …, 7 (mod 8) の8パターンを考えると、(*)が成り立つ可能性があるのは d ≡ 5 (mod 8) のみ。(IV) についても同様。

〔証〕 仮定より T, U はどちらも ≡ ±1, ±3 (mod 8)、ゆえに T2, U2 はどちらも ≡ 1。従って(*)は 1 − d ≡ 4 (mod 8) を含意する。つまり d ≡ 5。□

すなわち、ケイリーの公式が役立ち得るのは d ≡ 5 (mod 8) の場合のみであり、しかも、T, U などを奇数に限定できる(もし仮に限定なしの検索を行い、右辺が ±4 の偶数解が得られた場合、ケイリーの公式を使わず直ちに各項を4で割れば、正または負のペル方程式の解が得られる)。

〔例〕 d = 37 ≡ 5 (mod 8) のとき、外形的には公式が役立ち得るが、実際には (IV), (V) は奇数解を持たない(ブルートフォースの立場からは、このことは「やってみないと分からない」)。もし仮に検索を奇数に限定しない場合、
122 − 37 × 22 = −4
が見つかるが、この偶数解に (IV), (V) を適用すると、最初の「悪い例」と同様の結果になる。このような最小解が得られた場合、両辺を4で割り
62 − 37 × 12 = −1
としてから「負のペル」に対する通常の扱いを行えば、ペル方程式の最小解が得られる。この場合、最初から「負のペル」の検索を行っていれば、半分の検索範囲(半分の時間)で同じ結論が得られていた。

「奇数解が存在せず、偶数解なら存在するケースがあるのだから、両方探した方がいいのではないか。そのような場合、奇数解だけを探すと、いつまでたっても検索が終わらない。偶数解も探していれば、効率はともかく、少なくとも検索は完了する」という疑問が生じるかもしれない。マルチスレッドが許されるなら、±4 の奇数解と ±1 の整数解を平行して検索するのが最も効率的だろう。シングルスレッドの場合は微妙だが、奇数だけを探せば(奇数・偶数両方の検索に比べ)半分の時間で済む。2倍の高速化ができるポイントなので、できればそれを生かしたい。

普通のアルゴリズム(平方根の連分数展開を利用)では、上記の疑問は自然に消滅する(ケイリーのノットもそういう記述になっている)。ブルートフォースは「連分数というレーダー」を見ないで行うブラインド・アタックなので、この部分の見通しが利かず、何が最善なのか即断できない。

「8k+5型の d 専用」なので若干使い道が限られるが、うまくいくかどうかは別として、全素数の約25%に適用でき、同じ型の合成数にも適用できる。d < 1000 の範囲で実際に試すと、適用可能なケースの半数以上でうまくいくようだ。特に d = 61, 109, 188 のような「ペル方程式が記録的に大きい解」を持つ場合(言い換えれば、単純なブルートフォースでは非常に時間がかかる場合)、桁違いの高速化を期待できる。d = 109 のケースは、最初にやったとき、10分くらいかかった。それが一瞬。「負のペル」経由と比べても、実測で50倍くらい速く、ミリ秒(1000分の1秒)未満で検索完了する。

2020-07-03 野蛮な解法(その29) ケイリーのノット

【1】 ペル方程式 x2 − dy2 = 1 を直接解かなくても、その右辺を −1 または ±2 にした式の解が見つかれば、間接的にペル方程式の解が得られる:

(I) A2 − dB2 = −1 ならば x2 − dy2 = 1 である。ここで x = A2 + B2d, y = 2AB。(「その24」参照)

(II) A2 − dB2 = −2 ならば x2 − dy2 = 1 である。ここで x = A2 + 1, y = AB。(その28)

(III) A2 − dB2 = 2 ならば x2 − dy2 = 1 である。ここで x = A2 − 1, y = AB。(その28の追記)

この手法により、d = 500 以上まで「ブルートフォースで」ペル方程式を解けるようになった…ただ一つの例外 d = 421 を除いて。x2 − 421y2 = 1 の最小解は40桁くらいあって、とてもブルートフォースでは解けない。対応する (I) の解も17桁で、ブルートフォースでは時間がかかり過ぎる。このケースでは (II), (III) の手法も使えない。

「ブルートフォースで」という縛りは「できるかな?」という遊びであり、普通の解法を使えば d = 421 が難しいわけではない。でも、たった一つの d のため「d = 500 までコンプ」できないというのも悔しい。このケースに使えるうまい手は無いか?

【2】 (I)~(III) を眺めていると、A2 − dB2 = ±4 からのショートカットも可能なのでは、という考えが浮かぶ。d = 421 については
4449392 − 421 × 216852 = −4
という事実もある。これを利用できないか?

19世紀の英国の数学者 Cayley(ケイリー)は、この種の状況について、こう指摘した [1]。

(IV) t2 − du2 = −4 ならば T2 − dU2 = 4 である。ここで T = t2 + 2, U = tu

(V) T2 − dU2 = 4 ならば x2 − dy2 = 1 である。ここで x = (T3 − 3T)/2, y = (T2 − 1)U/2

【3】 ケイリーのような大数学者は、この問題をどういう角度から眺めていたのだろうか? それを紹介する前に、比較のため、素朴な方法で同じ結論を導いてみよう。(IV) は易しい。−4+4 にしたいのだから2で割って2乗するか、(同じことだが)2乗して4で割ればいい。
(t2 − du2)2 = 16 の左辺は
t4 − 2t2du2 + d2u4 = (t2 + du2)2 − 4(tu)2d
仮定により du2 = t2 + 4 なので上記右辺は
(t2 + t2 + 4)2 − 4(tu)2d = [2(t2 + 2)]2 − 4(tu)2d = 4(t2 + 2)2 − 4(tu)2d
これが 16 に等しいというのだから 4 で割ると
(t2 + 2)2 − (tu)2d = 4

〔例1〕 d = 13, t = 3, u = 1, 32 − 13 × 12 = −4 のとき
T = 32 + 2 = 11, U = 3 × 1 = 3, 112 − 13 × 32 = 4

(V) については、仮定より dU2 = T2 − 4。その両辺に (T2 − 1)2 を掛けて
dU2(T2 − 1)2 = (T2 − 4)(T2 − 1)2 = (T2 − 4)(T4 − 2T2 + 1)
= T6 − 6T4 + 9T2 − 4 = (T3 − 3T)2 − 4

これを整理した (T3 − 3T)2 − d[(T2 − 1)U]2 = 4 の両辺を 4 で割れば、書かれている通りの結果を得る。□

〔例2〕 d = 13, T = 11, U = 3, 112 − 13 × 32 = 4 のとき
x = (113 − 3 × 11)/2 = 649, y = [(112 − 1) × 3]/2 = 180, 6492 − 13 × 1802 = 1

【4】 上記 (V) の証明は透明でない。なぜ dU2 = (T2 − 4) からスタートし、なぜ両辺に (T2 − 1)2 を掛けるのか。必然性が感じられない。(IV) の証明にしても、
(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab
のパターンは「よく使われるトリック」ではあるが、なぜそれをここで使うのか。

ケイリー自身の考え方は、かみ砕いて言うと、次の通り。
t2 − du2 = (t + ud)(t − ud) という分解を念頭に置いて、(IV) の前提条件を
(t + ud)(t − ud) = −4
と書く。その両辺を平方する。左辺の平方は次のようになり、これが右辺の平方 16 に等しい:
(t + ud)2(t − ud)2 = (t2 + du2 + 2tud)(t2 + du2 − 2tud)
= (2t2 + 4 + 2tud)(2t2 + 4 − 2tud) = (2t2 + 4)2 − (2tu)2d

2個目の等号では、du2 = t2 + 4 を使った。…最初の証明と同じようなものだが、トリッキーな面がなくなった。

(V) については、同様の手法が(証明の上で)絶大な効果を発揮する。(T + Ud)(T − Ud) = 4 の両辺を立方すると:
(T + Ud)3(T − Ud)3 = 64 (ア)
左辺の前半について、機械的に計算すると:
(T + Ud)3 = 4(T3 − 3T) + 4(T2 − 1)Ud
途中経過は略したが、3乗の部分を展開して整数部分とそれ以外(d を含む部分)をそれぞれまとめ、dU2 = T2 − 4 を使って整理しただけ。見やすくするため
A = 4(T3 − 3T), B = 4(T2 − 1)U (イ)
と書くと (T + Ud)3 = A + Bd となる。同様にして(ア)の左辺後半は
(T − Ud)3 = A − Bd となる。従って(ア)は、こうなる:
(A + Bd)(A − Bd) = A2 − B2d = 64
この真ん中の式について(イ)の省略記法を元に戻すと:
16(T3 − 3T)2 − 16[(T2 − 1)U]2d = 64
両辺を 64 = 16⋅22 で割ると:
[(T3 − 3T)/2]2 − d[(T2 − 1)U/2]2 = 1
すなわち x = (T3 − 3T)/2, y = (T2 − 1)U/2 と置けば x2 − dy2 = 1 である。

…淡々と計算するだけで、自然に結論が得られた! 最初の証明(論理は分かるが、意味が分からない)とは大違い。

半面「整数解の話なのに、なぜ無理数が出てくるのか」「立方するという発想はどこから出てきたのか」といった別の疑問が生じるかもしれない。それをきっちり理解するには、少し準備が必要だが、遊びのような具体例を通じて「普通の整数の背後にある少し深い世界」を垣間見るのも悪くないかと…。ケイリーは同じノットの中で、右辺 −4 のペル型方程式から、右辺 −1 のペル型方程式の解を導く方法にも言及している。

Cayley は英国人だが、英語だけでなく時々フランス語で論文を書いた。1857年のこの Note もフランス語(だから「ノート」でなく「ノット」)。19世紀にはまだ「共通語=ラテン語」時代の余韻が強く、国際的な学術の世界でも、今より言語的多様性が大きかった。Note で言及されている「Degen の表」はラテン語の文献で、ペル方程式の解を d = 1000 まで収録。Cayley 自身、後にこれを拡張して d = 1001 から 1500 までの表を作った。

[1] A. Cayley, Note sur l’équation x2 − Dy2 = ±4, D ≡ 5 (mod. 8)
http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002149834  [367~371ページ]
https://archive.org/details/collmathpapers04caylrich  [論文集・第4巻40~42ページ]

2020-07-01 地球の自転が一時的に速くなっている 1日の長さ24時間を切る

精密に測ると地球の自転は日々変動しているが、長期的にはだんだん遅くなっている。「自転による1日は、定義上の24時間=86400秒より1ミリ秒(1000分の1秒)くらい長い」というのが、これまでの大ざっぱな感覚だった。だから1000日くらい(数年)のオーダーで地球は時計より1秒遅れ、時計合わせのため「うるう秒」が挿入される…と。

ところが実測で、2020年6月5日ごろから、86400秒かからないで自転が終わる状態が続いている。「自転と時計の差」(UT1−UTC)が普通ならだんだん減るはずなのに(自転より時計の方が進みが速いので、マイナスが大きくなる)、逆に少しずつ増えている。この傾向は9月頃まで続き、その後も時々自転が速めになると予想されている([1])。このこと自体は、決して異常ではない。2004年ごろにも同様のことが起こり、その影響で7年間くらい一度もうるう秒がないことがあった([2])。24時間を切ったと言っても違いは、せいぜい1ミリ秒。地球の自転と無関係に1日は通常86400秒に固定されているので、生活に影響が出るわけではない。大昔の地球はもっと速く回っていて、1日が23時間だったときもあるというのだから、1ミリ秒ずれたくらいで、大騒ぎすることもないだろう。

しかし年オーダーの短期的な話として、「うるう秒が入らない最長期間」の新記録になる可能性がある。「うるう秒」制度が始まって以降、これまでの最高記録は「7年間うるう秒なし」。協定世界時(UTC)1998年12月31日の末尾(日本時間1999年1月1日8時59分59秒の後ろ)にうるう秒が挿入されてから、UTC2005年の末尾に再びうるう秒が入るまで7年あいた。前回のうるう秒はUTC2016年末。2020年末のうるう秒の有無が公式発表されるのは数日後だが、UT1−UTCマイナス0.2秒台で「うるう秒」という先例は、21世紀に入ってから1度もない。マイナス0.5秒になりそうな辺りで挿入してプラス0.5秒側に振るのが、常識的に無難な線だし、最近の運用は実際そんな感じ。

前回の「7年間なし」記録のときは、うるう秒を入れてから4年で、またマイナス0.3秒くらいまで地球が遅れた。一方、2020年末にうるう秒がない場合、結果は「ずれマイナス0.2秒くらい」=前回の同じ条件より、ずれのペースが小さめ。この調子だと「8年間うるう秒なし」、場合によっては「10年間なし」といった新記録もあり得る。

地球の自転は、大ざっぱに10~20年の周期で速くなったり遅くなったりしているらしい。グラフ [3] を見ての漠然とした印象だが、現在入りつつある「谷」(1日の長さが短くなる)は前回よりちょっと深いかも…。地球の自転は気象の影響も受けているので、気象の乱れも関係しているのかもしれない。地球の自転が速めになるのは、UTCがずれにくいという点では良いこと。これまでの遅れの「貯金」がたっぷりあるので、「負のうるう秒」などという事態にはならない。長期的には、どっちにしても誤差の範囲内の揺らぎだろう。

[1] https://datacenter.iers.org/data/latestVersion/6_BULLETIN_A_V2013_016.txt

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Deviation_of_day_length_from_SI_day.svg

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Leapsecond.ut1-utc.svg


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微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
空は青くて真白くて(2014-11-23)
「わたしの心は躍り上がる」(ワーズワース)/「空は青くて白くて」(フィンランド民謡)

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死ではないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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