妖精現実

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チラ裏

2021-04-13　目で見る i 乗（その3）　(−2) の i 乗、(2i) の i 乗…

5.　前回は 2ⁱ などを考えた。正の数の i 乗は絶対値が 1、つまり単位円上にあるのだった。では負の数の i 乗や、虚数の i 乗は？

Y の i 乗の定義は
　　Yⁱ = e^i log Y = exp (i log Y)
なので、例えば 2i の i 乗は:
　　(2i)ⁱ = exp [i log (2i)]　　……　①

まず i log (2i) を計算しよう。

w = 2i について、絶対値 |w| = 2、偏角 arg w = π/2。

log w = log |w| + i arg w なので:
　　log (2i) = log 2 + i(π/2)
従って:
　　i log (2i) = i log 2 − π/2
これを①に入れると:
　　(2i)ⁱ = exp [i log (2i)] = exp (i log 2 − π/2)　　……　②

−π/2 も log 2 も実数。これらは、i log 2 − π/2 の実部と虚部。

実部 x、虚部 y の複素数 x + yi について、exp (x + yi) = e^x cis y なので:
　　(2i)ⁱ = ② = e^−π/2 cis (log 2)　　……　③

ここで cis φ は cos φ + i sin φ の略。

複素数 A cis φ の絶対値は A、偏角は φ なので、③の絶対値は A = e^−π/2 = 0.2078…、③の偏角は φ = log 2 = 0.6931…（約39.7°）―― 下図の ∠SOT。複素平面上で、大ざっぱに、傾き 40° の線（下図の赤線）と、半径 0.2 の円の交点に当たる。

同様に (−2)ⁱ = exp [i log (−2)] = exp [i (log 2 + iπ)] = exp (i log 2 − π) = e^−π cis (log 2) も同じ偏角を持ち、絶対値は e^−π = 0.0432…。

6.　このように、絶対値 2 の数 ―― 例えば 2i や −2、前回見た 2 など ―― を i 乗すると、結果の偏角は log 2 になる。より一般的に、絶対値 r の数を i 乗すると、結果の偏角は log r になる。一方、偏角 θ の数を i 乗すると、結果の絶対値は e^−θ になる。実際、
　　複素数 A cis φ は、絶対値が A で偏角が φ
ということに留意すると（A は正の実数、φ は実数）:
　　(r cis θ)ⁱ
　　= exp [i log (r cis θ)]　　← i 乗の定義より
　　= exp [i (log r + iθ)]　　← 複素数の log の性質より
　　= exp (i log r − θ)　　← i(A + B) = iA + iB なので
　　= e^−θ cis (log r)　　← 複素数の exp の性質より

要するに、i 乗という操作は「絶対値と偏角の入れ替え」のようなもの。入力の絶対値だけで出力の偏角が決まり、入力の偏角だけで出力の絶対値が決まる:
　　入力の絶対値 r　→　出力の偏角 log r
　　入力の偏角 θ　→　出力の絶対値 e^−θ

特に、i の i 乗が実数になる訳は、i の絶対値が 1 だから ―― log |i| = 0 という偏角は、正の実数を表す。同じ理由から、i に限らず、絶対値 1 の任意の数を i 乗すれば、正の実数になる！

＜例1＞　複素数 ω = (−1 + i√3) / 2 = の絶対値は 1 なので、次の数は実数:
　　ωⁱ = [(−1 + i√3) / 2]ⁱ = e^−2π/3 = 0.1231…
　　なぜなら　ω = cos (2π/3) + i sin (2π/3) = 1 cis (2π/3)

7.　では逆に、Yⁱ が実数になるのは、|Y| = 1 の場合に限られるか？

答えはノー。実数の偏角は 0 とは限らない ―― 出力の偏角が π なら、それは負の実数。だから Y = r cis θ について、もし log r = π なら、Yⁱ は負の実数。|Y| = r = e^π = 23.1406… ならそうなる。

＜例2＞　(e^π)ⁱ = (e^π cis 0)ⁱ = e⁻⁰ cis (log e^π) = 1 cis π = −1
　　参考: b, p が実数なら（b ≠ 0）、任意の複素数 q について (b^p)^q = b^pq。
　　従って、オイラーの公式経由で (e^π)ⁱ = e^πi = −1 とすることも可。

　危険な曲がり角　指数の結合 (b^p)^q = b^pq は、一般には不成立。指数の交換 (b^p)^q = (b^q)^p も、一般には不成立。

＜例3＞　(ie^π)ⁱ = (e^π cis π/2)ⁱ = e^−π/2 cis (log e^π) = e^−π/2 cis π = −e^−π/2 = −0.2078…
　　参考: −π < Arg b + Arg c ≤ π なら (bc)^p = b^pc^p。例2と組み合わせると
　　(ie^π)ⁱ = iⁱ(e^π)ⁱ = iⁱ × (−1) = 0.2078… × (−1) という計算も可。

　危険な曲がり角　指数の分配 (bc)^p = b^pc^p は、一般には不成立！

実数を表す偏角は 0 と π だけではない。出力の偏角 log r が 0, ±π, ±2π, ±3π, etc. なら、それは実数を表している。つまり、入力 Y の絶対値 r = |Y| が e^kπ の形なら（k は整数）、出力 Yⁱ は実数。

＜例4＞　(e^2π)ⁱ = (e^2π cis 0)ⁱ = e⁻⁰ cis (log e^2π) = 1 cis (2π) = 1
　　例2と同様に、オイラーの公式経由の (e^2π)ⁱ = e^2πi = 1 も可。

2021-04-11　目で見る i 乗（その2）　2 の i 乗…

2.　前回は eⁱ を考えた。今回は一歩進めて 2ⁱ や 3ⁱ などを考え、ついでに「i の i乗根」なども求めてみたい。

事実としては、下図のように、2ⁱ や 3ⁱ なども、複素平面の単位円上にある。

これは Yⁱ = e^i log Y という定義に基づく（この定義の意味については後述）。

まず Y = 1 とすると log Y = log 1 = 0 なので 1ⁱ = e^i × 0 = e⁰ = 1。

次に Y = 2 とすると log Y = log 2 = 0.693… なので 2ⁱ ≈ e^0.693i。前回同様、これは単位円上の偏角 0.693（約39.7°）の点に当たる:
　　2ⁱ = cos (log 2) + i sin (log 2) = 0.769… + (0.638…)i
　　グラフの升目からも、0.77 + 0.64i くらいであることを読み取れる。

同様に Y = 3 のとき log Y = log 3 = 1.098… なので 3ⁱ ≈ e^1.098i。これは偏角 1.098（約62.9°）の点:
　　3ⁱ = cos (log 3) + i sin (log 3) = 0.454… + (0.890…)i

単位円の円周上で 2ⁱ と 3ⁱ の間――どちらかというと後者に近い点――に、eⁱ がある（これについては前回詳しく調べた）。e = 2.718… なので、そうなって当然だろう。

以下同様に:
　　log 4 = 1.386… ≈ 79.4°　　4ⁱ = cos (log 4) + i sin (log 4) = 0.183… + (0.983…)i
　　log 5 = 1.609… ≈ 92.2°　　5ⁱ = cos (log 5) + i sin (log 5) = −0.038… + (0.9992…)i
　　log 6 = 1.791… ≈ 102.6°　　6ⁱ = cos (log 6) + i sin (log 6) = −0.219… + (0.975…)i

3.　図からも計算からも、5ⁱ が i = 0.0 + 1.0i の近くにあることが分かる。aⁱ = i を満たす a が 4 と 5 の間にあるはず。そのような a について:
　　i乗の定義から　e^i log a = i
　　両辺の対数を考えて　i log a = log i = πi/2　（※注1）
　　両辺を i で割って　log a = π/2
　　だから　a = e^π/2 = 4.81047738…

これは、およそ 4.81ⁱ が i に等しいという意味。図を眺めると、4ⁱ と 5ⁱ の間に i がある…というだけで、別に不思議なことでもない。

ところで、x³ = i を満たす x は、i の3乗根と呼ばれ、i^1/3 とも書かれる。x⁴ = i を満たす x は、i の4乗根と呼ばれ、i^1/4 とも書かれる。上記の a は aⁱ = i を満たすのだから、i の i 乗根と呼ばれ、i^1/i と書かれたとしても、おかしくない。さて:
　　a = i^1/i = i⁻ⁱ = (iⁱ)⁻¹　（※注2）
だから、この a は iⁱ の逆数。そして:
　　iⁱ = 1/a = 1 / 4.81047738… = 0.20787957…

iⁱ が実数になるのは、aⁱ = i を満たす a が実数だから…という一つの直観が得られた！

（※注1）　複素数 z の対数（の主値）は、実部が log |z|、虚部が Arg z。この場合 |i| = 1 なので実部は log 1 = 0、Arg i = π/2 なのでそれが虚部。

（※注2）　b^pq = (b^p)^q のような計算は、一般には成り立たないが、p Log b の虚部が (−π, π] の範囲にあれば成立。この場合 b = i, p = i, q = −1 に当たり、p Log b = i(πi/2) = −π/2 の虚部は 0。同様の計算が成り立たない例は次の通り。1ⁱ = 1 は確認済みなので (i⁴)ⁱ = 1 だが、i⁴ⁱ = (iⁱ)⁴ = (0.2078…)⁴ ≠ 1。この場合 4 Log i = 4(πi/2) の虚部が範囲外。

4.　複素数の複素数乗の定義は、次のように考えると話が早い。

愛情を求める

「いい方（かた）に会いたいよ」

複素数 Y の i 乗（愛情）を求める。愛情を求めるのだから「いい方に会いたいよ」と願う。

会いたいよ

アイ　対（数）　よ

i log Y

それを「いい方」つまり e の肩に乗せればいい。

いい方に　会いたいよ

イー　肩に

e ^i log Y

より一般的に、任意の複素数 Y, u について、Y^u = e^u log Y（いい方に優待よ）。覚え方はともかく、なぜそう定義するのだろうか。

A = e^□ = exp □ を成り立たせる □ のことを log A と書く。従って:
　　A = exp (log A)
今、A = Y^u とすると:
　　Y^u = exp (log Y^u)
実数の世界の対数法則によれば log Y^u = u log Y。これを機械的に、上の式に入れると:
　　Y^u = exp (u log Y) = e^u log Y

大ざっぱに言って、それをそのまま定義にした…。実際には、複素数の世界では log Y^u = u log Y は必ずしも成り立たないけど、そのことは、上記の定義との関係においては、致命的な問題ではない。定義に従ってちゃんと値（主値）を計算できる。一つの背景として、log Y^u と u log Y は等しくないとしても差が 2πi の整数倍なので、e の肩に乗せると、その差が消滅してしまう…。

2021-04-10　目で見る i 乗

1.　xi を純虚数とすると、e の xi 乗は、単位円上の偏角 x の点（オイラーの公式）。

e の i 乗は、x = 1 のケースなので、偏角 1（約57.3°）の点に当たる。

eⁱ の実部は cos 1 = 0.5403…、虚部は sin 1 = 0.8414…
　　つまり　eⁱ = cos 1 + i sin 1

絶対値　|eⁱ| = 1　（原点からの距離※）

偏角　Arg (eⁱ) = 1

※ なぜなら任意の θ に対して cos² θ + sin² θ = 1。距離はその平方根。（ここでは θ 自体も 1。）

弧度法の角度 1 は、度数でいうと (180 / π)° = (180 / 3.14…)° = 約57.3°。

角度 π / 3 = 1.047… は 60° なので、eⁱ の実部・虚部は、それぞれ cos 60° と sin 60° に近い:
　　cos 60° = 1 / 2 = 0.5　　（cos 57.3° ≈ 0.54）
　　sin 60° = √3 / 2 = 1.732… / 2 = 0.866…　　（sin 57.3° ≈ 0.84）

2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー

クヌースのタワーといえば「巨大な数を表す」というイメージが強い。

＜例1＞　3↑↑4 = 3³³³ = 3³²⁷ = 3^{7625597484987} = ざっと3兆6000億桁の数

約束として a^b^c = a^bc のようなものは、右から（上から）計算する。a^b^c = a^(b^c) であり (a^b)^c ではない。

ここでは「タワーに小さい正の数を入れると、どうなるか？」を考えてみたい。直観的には、巨大の反対で、どんどん 0 に近づくような気もするが…

1. z = 1/4 = 0.25
2. z↑↑2 = z^z = z^z = (1/4)^¼ = 1/√2 = 0.7071…
3. z↑↑3 = z^z^z = (1/4)^1/√2 = 0.3752…
4. z↑↑4 = z^z^z^z = z^0.3752… = 0.5944…　あれ、前より増えたよ
5. z↑↑5 = z^z^z^z^z = z^0.5944… = 0.4386…　今度は減った
6. z↑↑6 = z^z^z^z^z^z = z^0.4386… = 0.5443…　また増えた

何やら振動しつつ、振幅が小さくなって収束しそうな気配が…

ブルートフォースで数値計算してみましょう。

\\ PARI/GP
tower(z,n) = { my(ret=1); for(i=1, n, ret=z^ret); ret; }

z↑↑100 = tower(z,100) = 0.5000000000000000475058…

z↑↑200 = tower(z,200) = 0.50000000000000000000000000000000574504…

n→∞ のとき z↑↑n = 0.5 になると予想される。いったん予想できれば、証明はトリビアル:

証明　z = ¼ のとき L = z^z^z^z^… が存在するなら L = z^(z^z^z^…) = z^L つまり L = z^L。L = ½ は、これを満たす。実際 (¼)^½ = √¼ = ½。 □

¼ の「無理数の無理数乗」乗…のようなものが有理数に収束するのは、面白い！

上の証明から分かるように、f(z) = z^z^z^… を求めることは、f(z) = z^f(z) という「不動点」を求めることに当たる。

ある数 a が与えられたとき、xe^x = a の解 x を W(a) と書く（ランベルトのW関数）。

＜例2＞　x = log 2 のとき
　　xe^x = (log 2)(e^log 2) = (log 2) × 2 = log (2²) = log 4
　　従って　W(log 4) = log 2

上記の「不動点」は、W関数を使うと −W(−log z) / log z に当たる。z = ¼ のとき L = ½ になるという事実は、W(−log ¼) = W(log 4) = log 2 と結び付く。

＜例3＞　½^½^½^… = 0.6411857445…

＜例4＞　i^i^i^… = 0.4382829367… + i0.3605924718…　（A077589参照）

＜例5＞　(1/π)^(1/π)^(1/π)^… = 0.5393434988…

＜例6＞　(1/e)^(1/e)^(1/e)^… = 0.5671432904… = W(1)

チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。

• 2021-04-07　双曲線の計算地獄…と天国（その2）
• 2021-04-08　双曲線の計算地獄…と天国（その3）　恋と楕円の a, b, c
• 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
• 2021-04-06　√1−z² = √1+z√1−z はOK、√z²−1 = √z+1√z−1 は駄目
• 2021-03-30　目で見る複素関数cosh　cosより考えやすいかも？
• 2021-03-31　√z²−1 = √z+1√z−1 でない　√1−z² = √1+z√1−z なのに…
• 2021-03-21　cot の逆関数　びっくり！！ 君の教科書もまっ赤なうそ！
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• 2021-03-17　tan (θ/2) = csc θ − cot θ の可視化
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• 2021-03-01　グーデルマン関数の可視化　円と双曲線　虹の懸け橋
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