チラ裏コーナー（読まずに新着記事一覧へ）
2019-06-24 最小の強擬素数 （正の）合成数 m が与えられたとき、m − 1 = 2sd を満たす整数 s ≥ 0 と奇数 d ≥ 1 が一意的に定まる。次の条件のいずれかを満たす自然数 b を知りたい。
条件 (I) bd ≡ 1 (mod m)
条件 (II) e = 2rd が be ≡ −1 (mod m) を満たすような、整数 r ∈ [0, s−1] が存在
もし m が偶数なら、s = 0, d = m − 1 となり、(I) は普通の擬素数（フェルマー擬素数）と全く同じ条件、(II) は意味を持たない。従って m を奇数の合成数に限ることにする。このとき、(I) または (II) を満たす数（強擬素数と呼ばれる）は必ず擬素数だが、擬素数は必ずしも強擬素数ではない。普通の擬素数の場合と同様の理由から、b ≡ ±1 (mod m) は「自明な底」。底の検索を [2, m−2] の範囲に限定することができる。
そうすると、b ≥ 2 を固定して「b を底とする最小の強擬素数」を考えることができるのはもちろんだが、底を限定せずに「ある性質を持つ最小の強擬素数」を考えることもできる。例えば、100 以下の自然数のうち、非自明な底に対して強擬素数になり得るものは 25, 49, 65, 85, 91 の5個しかない（容易に全数検索可能）。「底の検索範囲を広げたら、350桁の巨大な（非自明な）底に対して 15 も強擬素数になることが発見された！」といったことは、絶対起きない。従って、例えば「49 は、逆数（の10進展開）が循環小数になる最小の強擬素数である」という命題は（数学的な価値はさておき）論理的に正しい。
「強」ではない普通の擬素数についても同様のことが言えるが、3 のべきを除く全ての奇数の合成数は（非自明な底の）擬素数なので、あまり面白みがない。偶数の擬素数（比較的珍しい）についてなら、何か面白いことが言えるかもしれない。
2019-06-23 どの底の擬素数？ （正の）合成数 m が与えられたとき、bm−1 ≡ 1 (mod m) を満たす自然数 b を知りたい。一般性を失うことなく 1 ≤ b ≤ m と仮定できる。実際、任意の整数 x について、整数 k が存在して、上記範囲の b を使って x = km + b と書ける。このとき x ≡ b (mod m) であり、2項定理から xm−1 = (km + b)m−1 ≡ bm−1 (mod m)。
従って「与えられた m が擬素数になるような底」をリストアップしたいとき、m より大きい底を考える必要はない。とりあえず m 回の試行で全数検索できる。さらに、合同式 bm−1 ≡ 1 (mod m) は b = m ≡ 0 なら常に不成立、b = 1 なら常に成立。これらは「自明な底」である。
b = m − 1 つまり b ≡ −1 のとき、上記の合同式は m が奇数なら成立、偶数なら不成立（偶数 m = 2 に対しては成立するが、m は合成数なので 4 以上）。これも「自明な底」であり、結局、実質的に問題になるのは 2 ≤ b ≤ m − 2 の範囲の b に限られる。
【例】 合成数 m = 9 は、どのような底に対して擬素数か。これは「8 乗して 9 で割ったとき 1 余るような整数をリストアップせよ」という問題。b = 9 ≡ 0 が条件を満たさないこと、b = 1, 8 ≡ ±1 が条件を満たすことは明白。それ以外の底について、素朴に計算すると:
U = 2^8 = 256 ≡ 4 V = 3^8 = 6561 ≡ 0 W = 4^8 = 65536 ≡ 7 w = 5^8 = 390625 ≡ 7 v = 6^8 = 1679616 ≡ 0 u = 7^8 = 5764801 ≡ 4
実際には、この場合、底が偶数乗されるのだから、b > (m − 1)/2 については、m − b ≡ −b に対する結果を再利用できる（u = U, v = V, w = W）。結論として、9 は自明な底 1, 8（およびそれに 9 の倍数を足した自然数）について擬素数だが、9 が擬素数になるような非自明な底は存在しない。m が大きい場合、m − 1 乗をばか正直に計算すると計算途中の値が大きくなり過ぎるが、その点については抜け道がある。
2019-06-21 擬素数の逆数の循環節の長さ n > 1 を 10 と互いに素な整数とする。1/n を 10 進小数で表し、その循環節の長さを ℓ とする。 (I) n が素数であるか、または底 10 のフェルマー擬素数であるときに限って、n ≡ 1 (mod ℓ) が成り立つ。 (II) 底 10 のフェルマー擬素数は、10 以上なら、全てこの合同式を満たす。
【例】 n = 91 とすると、1/n の循環節の長さ ℓ = 6 は n ≡ 1 (mod ℓ) を満たす。ところが n = 91 = 7 × 13 は素数でないから、フェルマー擬素数になるはず。実際、1091 − 1 ≡ 1 (mod 91)。
【証】 10 進小数の場合、n を法として ℓ は 10 の位数。n が素数なら、小定理により ℓ は n − 1 の約数だから n − 1 ≡ 0 (mod ℓ) となり (I) の合同式が成立。よく知られているように、逆は不成立。すなわち、フェルマー擬素数も同様の理由から、同じ合同式を満たす。
これだけなら大したことじゃないが、これは話の出発点…
2019-06-20 大島弓子のふんわりした不思議な表現形式 猫は外形的に「猫耳を持つ人間」の姿で描かれていますが、実際には「ただの普通の猫」であり、周囲の人々からは「ただの普通の猫」に見えてます。「猫耳を持つ人間」の姿は、あくまで主人公チビ猫（自分は半分人間だと思っている）の「主観的イメージを映像化したもの」。
客観的には「ただの猫」なのですが、その猫が「自分は未熟な人間＝成長すれば人間になる」と思ってるので、画面上ではそのように描かれているわけです。同様に、猫たちは人間の言葉を話しますが、周囲の人々からは、単に猫がニャーニャー言っていると認識されています。…言葉で説明すると意味が分かりにくいですが、実際に作品を読むと（少なくとも想定されている読者層＝若く未熟な人々にとっては）、何の違和感もなく、自然に（それどころか共感的に）理解できる世界観でした。
2019-06-19 MP4: foobar2000のタギングの問題点と解決法 foobar2000 や Mp3tag （以下fb2k）を使ってMP4ファイル（オーディオまたは動画）にタグを付けるのは簡単便利だが、これらのツールは同じタグを2カ所に書き込む（恐らく互換性のために、あえて）。5000 KBのMP4ファイルに300 KBのカバーアート（画像）を付けたとすると、5300 ではなく5600 KBになってしまう！ そればかりか、mp4box を信じるなら、このタギング方式は ISO 非互換。iTunes 標準の moov.udta.meta はいいのだが、moov.udta.tags の方は「一部のプレーヤーが勝手に使っている独自拡張」らしい。
このような fb2k タイプのMP4ファイルをクリーンにする方法を発見した。上記の例でいうと、音質（画質）には影響なく、標準のタグもカバーアートも保ったままで、ファイルを300 KB小さくできる！
原理としては、不要な moov.udta.tags 全体をバイナリーで除去、除去されるバイト数を x として、moov と moov.udta のサイズフィールドの値（32ビット）をそれぞれ x だけ小さくする（書き換え1）。全トラックについて、stco ボックスの全エントリーも x だけ小さくする必要がある（書き換え2）。手動でやるとすれば、バイナリーエディターで tags の4文字を探す。その前の4バイトが x。とりあえず tags の4文字を free と上書きし、書き換え1（4バイトが2カ所だけなので手動でも実行可能）の後、fb2k の「ファイルサイズを最小化するツール」を使うと、free ボックスの除去＆書き換え2をやってくれる。全部まとめて自動でやるツールを試作したが、まだ公開できる段階ではない。Apple の定義にないカスタムタグについては、別途考える必要がある。
2019-06-13 33は3立方数の和 x3 + y3 + z3 = 33 の整数解が、2月ごろ発見された。
Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33
解は x = 8866128975287528, y = −8778405442862239, z = −2736111468807040 で、いずれも絶対値16桁（1000兆～1京の範囲）。x3 + y3 は次の47桁の数。
204載 8336正 7622澗 7971溝 5822穣 3817𥝱 9527垓 5490京 5569兆 3831億 5366万 4033
z3 の絶対値は次の47桁の数。
204載 8336正 7622澗 7971溝 5822穣 3817𥝱 9527垓 5490京 5569兆 3831億 5366万 4000
100の位より上が全部打ち消し合って、33 になる。すげえ！
ボーナス・クイズ3 q = −y = 8778405442862239 が素数であることを示せ（JavaScript 3行以内でも可能）。
2019-06-11 「風立ちぬ」の元ネタの元ネタ 堀の小説「風立ちぬ」の元ネタが、フランスの詩人バレリーの「風が立つ。生きなければ！」であることはよく知られているが、そのバレリーは、古代ギリシャの詩人ピンダロスの作品を引用している。その大意は「いとしき（わが）魂よ、不死の（無限の）命を望むな。そうではなく、おまえが持つ（有限の）ものをフルに使うのだ！」 シリア語（筆者の趣味）では「魂＝霊＝風」は同じ単語なので、バレリーのイメージは何となく分かる気がするし、ピンダロスの言葉と堀の物語もすごくつながっている感じがするが、ピンダロスのギリシャ語は、アッティカともホメーロスともコイネーとも違う方言らしく、難しいというか読みにくい。簡単な言葉（ただの冠詞の方言バージョン？）が理解できない。調べて慣れる必要がある。
「生きめやも」という堀の言葉は「生きるもんか！」「生きようよ！」のどっちの意味なのか曖昧な感じがするが、元ネタの元ネタのピンダロス自体「無限になんて生き（られ）るものか」「だから精いっぱい生きるんだ」という二重性を持ってるんじゃね？
つまりアンパンマンの歌と同じロジック（＝終わる命だから、生きる喜びがある）なんじゃね？
2019年1月 「規則に従わない79」のネタが、The Prime Pages の「素数の珍品」（Prime Curios!）に収録されました♪
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。msystem.waw.pl / videolan.org