妖精現実

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チラ裏コーナー（過去のチラ裏）

2020-06-01　野蛮な解法（その16）　サインカーブの波打ち際

「小鳥のホテル」で遊んでいたら、今度は、こんなもんが見つかりました:
1 + sin(344) = 0.00000966049382909903…
1 + cos(355) = 0.00000000045434101983…

前回の系: π ≈ 333/106, 333 ≈ 106π、ゆえに sin(333) ≈ 0, cos²(333) = 1 − sin²(333) ≈ 1。π ≈ 355/113, 355 ≈ 113π についても同様。

きちんと文献を調べたわけではありませんが、鳩の巣原理を使って 1/N 未満のニアミスの存在を導くアプローチは、1842年に Dirichlet が発見したらしい（？）。だとすると、Lagrange が、ペル方程式の解の存在を最初に証明したときは（1760年代？）、別のアプローチを使ったのかな…。

意味ということは、定義上、心の中で起きているマッピングであり、解釈がなければ、意味があるということもないし、意味がないということもないわけです。そうすると、実用上・便宜上の観点からは、起きることには全て意味があると解釈した方が得でしょう。例えば…
ホウレンソウを買うつもりだったのに、間違えて小松菜を買ってしまった
…というとき、「意味のないばかな行為」と解釈して悲しい気持ちになることもできるのですが、楽天的に「今日は小松菜を食べるとラッキーというお告げかもしれないな。小松菜で何を作ろうかな～」と考えてもいいわけで。もっとすごくひどいことが起きた場合でも、何という不条理だと悲嘆に暮れることもできるけれど、「何だか分からないけど、これにはきっと深い意味がある」と考えてみてもいいわけです。注意点として、解釈はあくまで自分の心の中にとどめておくのが無難。悲しんでいる第三者に対して安易に「これは意味のある出来事。元気を出して」などと言うと、往々にして相手が気分を害し、関係がこじれる原因になるからです。ホロコースト犠牲者の遺族に、第三者が「ホロコーストには意味があったんだよ」などと言わない方がいいのは明白でしょう。自分自身が遺族の場合にも「意味がある出来事でした」などというと「頭がおかしい」と思われかねないので、やはり「解釈」はプライベートな心の中の問題にとどめておくのが吉かと…。選択の余地がない場合…例えば、裁判のような公的な場で「遺族の意見」を問われた場合には、控えめに「なるべく軽い罪にしてあげて」くらいは言うかもしれませんが…自分に無関係な論争には、どの陣営にも加わらないのが得策だと思うのです。

しかし sin(344) の値を考えることに何の意味があるのか…と問われた場合、ぶっちゃけ意味がないといえばない。「連分数の循環の周期を数えれば済む話しなのに、なぜ全数検索するのか」「なぜ教科書通りに効率的にやらないのか」と問われた場合、何と答えればいいのでしょう…。例えばの話、世の中には「チェスに興味がない人」もいれば「チェスが好きな人」もいれば「チェスなんて、どうせコンピューターにかなわないのに人間がやっても意味がないと考える人」もいるわけで、どの立場であるにせよ、それは心の中の解釈の問題。他人を説得して同意させる必要があることではないでしょう。

2020-05-31　野蛮な解法（その15）　「小鳥のホテル」は不思議がいっぱい

pigeonhole（ピジンホール）を直訳すると「ハト穴」、数学用語としては「鳩の巣」と呼ばれますが、この用語が最初に使われたとき、もともと「ハトの宿舎のように、仕切りのついた区画がいっぱい並んでいる整理ボックス」のような意味だったとか…。でも、かわいいので、ここでは「小鳥のホテル」と呼んじゃいましょう！

「小鳥のホテル」の原理（鳩の巣原理）は、要するに「客室数より多い小鳥さんをチェックインさせたら、最低2羽は相部屋になるよ」…どう考えても当たり前ですが、この当たり前のことが、いろんな不思議と関わってくる…。例えば、
53√89 = 500.0009999990000019999950000139999580001319995…
は、前回の pigeon で遊んでいて見つけた不思議な数。無理数なのに数字の並び方が興味津々。計算自体は簡単に試せるので、Windows ユーザーの方は電卓を起動して [Alt]+[2] で科学計算モードにしてから、
53*89@=
とタイプしてみてください。

さて、この原理を使って x² − dy² = 1 には必ず正の整数解があることを証明するのが本来の目標ですが（それは、パズルとして面白いだけでなく、数学的にも深い意味を持つ）、ここでは寄り道して「円周率にこの計算法を適用したらどうなるか？」ということを少し丁寧に考えてみましょう。

わたしたちは、客室が10個だけある「小鳥のホテル」を作りました。次の11個の数を11羽の小鳥だと思うと…
0π, 1π, 2π, 3π, 4π, 5π, 6π, 7π, 8π, 9π, 10π
…部屋の数より鳥の方が多いので、少なくともどれか2羽が相部屋になることは明白。部屋の割り当て方は、小数部分が 0.0台なら「0号室」、0.1台なら「1号室」、0.2台なら「2号室」…0.9台なら「9号室」として、例えば、8π = 25.13… は「1号室」に入れます。でも 1π = 3.14… も「1号室」なので、1π, 8π は相部屋に。これは、jπ, kπ の小数部分の差が 1/N 未満になるような、0以上N以下の相異なる整数 j, k が存在する…ということ（この場合 N=10, j=1, k=8）。ホテルの構造上、客室数より客の方が多いのだから、問題にする数が π でなくても、あるいは、部屋の数 N が10でなくても、常に同様のことが成立。

かくして 1π, 8π の小数部分はだいたい同じなので（両方とも0.1台）、この二つの数の差は、整数に近い:
7π = 8π − 1π = 25.1327412… − 3.1415926… ≈ 21.9911486
= 22 − 0.0088514
この 0.0088514 の逆数 を計算すると、112.976…。つまり 7π は、整数22と、距離1/112 程度のニアミスを起こす。幅1/10の区間に2羽の小鳥を入れるので、小鳥同士が距離1/10未満まで接近するのは確実ですが、実際には1/112以内まで接近しています。この観察を基に、今度は小数部分を1/113単位で区切れば（※）、さらに際どい1/113未満のニアミスが確実に起きる（※小数部分が0/113以上1/113未満なら0号室、1/113以上2/113未満なら1号室…というふうに、113室のホテルに114羽の小鳥たちを割り当てる）。

やってみると…0番の小鳥 0π = 0.0 と、106番の小鳥 106π = 333.008821… の小数部分の差は、実際 1/113 = 0.008849… 未満（N=113）。106π は距離 0.008821 ≈ 1/113 まで整数に接近しました。前回が1/112程度なので、1/113では大して違いがないようですが、
22/7 = 3.142857…
333/106 = 3.141509…
なので、近似精度は確実にアップ！　調子に乗って、今度は部屋の幅を1/114にすると（N=114）、1π = 3.14159… と 114π = 358.14156… の小数部分が、1/33173 程度のすごいニアミス。両者の差を考え分数を作ると:
355/113 = 3.14159292…
小数6桁目まで正しい（有名な）近似分数が得られました。さらに調子に乗って N=33174 にすると、ニアミス度は約1/52275。9桁目まで正しい近似分数が得られます:
103993/33102 = 3.14159265301…

以下同様に、ニアミス度の分母が n 台のとき、n+1 を次の N にして新しいホテルを作ればニアミス度が上がり、そこから、より優秀な近似分数が得られます。教科書的にはこれは「円周率の連分数展開」というお決まりの話題ですが、このように「小鳥のホテル」を考えると…
　必ずニアミス（相部屋）が起きるのは当たり前（整数に近い数が現れるので、それを使って簡単に近似分数を作れる）
　Nの選択によって、必ず前回より際どいニアミスを引き起こせる＝無限に（いくらでも高精度の）近似分数を作れる
…ということが実感でき、天下り的で無味乾燥な連分数の話より面白いのでは…。といっても、実用上の計算は、直接、連分数として計算した方がはるかに効率的ですが。ときめく方がいいよね！

ボーナスクイズ: プログラム上で「少なくとも10万羽の小鳥を収容できるホテル」を実装し、あと3歩先まで近似分数を作ってください。分母が10万までの範囲での、円周率の最良近似分数を見つけてください。実行する前に、その近似分数の値が円周率の真の値とどのくらい一致するか、勘で予想してください。小数20桁くらい？　10桁くらい？　10桁いかない？

2020-05-28　野蛮な解法（その14）　ふしぎなふしぎなハト・ホテル

次の短いPARIコードの意味は…

pigeon(x,N) = {
 my( h = Map(), f, r, j );
 for( k=0, N, f=frac(k*x); r=floor(f/(1/N));
      if( mapisdefined(h,r,&j), return(k-j), mapput(h,r,k) ) );
}

N個の客室があるハトのホテル（ハト小屋）を作ります（Nは自然数）。k=0番のハトから、k=N番のハトまで、最大 N+1羽のハトさんをチェックインさせようとしますが、客室はN個しかないので、絶対どこかで問題（ダブルブッキング）が生じます（笑）。k番目のハトには、k*x の小数部分 f に応じて r号室を割り当てますが、ダブルブッキングの問題があるので、ハトを入れる前に、そこが今空室かどうか確認。既に先客がその部屋を使っている場合、割り当てマップを見ると「j番のハトがその部屋を使用中」と分かるので、その場合、ホテルを終了し k−j を返します。そういう問題がなければ、ハトさんを r号室（現在空室）に入れ、ホテルの営業を続けます。例えば…

gp > pigeon(Pi,10)
k=0 : k*x=0 : r=0
k=1 : k*x=3.141592653589793238462643383 : r=1
k=2 : k*x=6.283185307179586476925286767 : r=2
k=3 : k*x=9.424777960769379715387930150 : r=4
k=4 : k*x=12.56637061435917295385057353 : r=5
k=5 : k*x=15.70796326794896619231321692 : r=7
k=6 : k*x=18.84955592153875943077586030 : r=8
k=7 : k*x=21.99114857512855266923850368 : r=9
k=8 : k*x=25.13274122871834590770114707 : r=1

この例では、円周率について、部屋が10個のハト・ホテルを作りました。円周率の2倍は小数部分が0.2台なので、ハト2を2号室へ入れる。円周率の3倍は小数部分が0.4台なので、ハト3を4号室に。…同様に続けると、ハト8は1号室に行くはずですが、そこは既にハト1が使用中なので、そこでストップ。8−1=7 を返します。これは「円周率の7倍は整数に近い」ということを意味しています（なぜでしょう？）。

もっと部屋の数が大きい（細かく部屋割りをできる）ホテルの例。pigeon(Pi,1000) とすると 113 が返ります。pigeon(Pi,10^6) なら 66317 が…。実際、
113π = 354.9999698556466359462787023
66317π = 208341.0000081143181951271213
は、非常に整数に近い値を持っています。これらの数値に見覚えのある方も多いでしょう。特に π ≈ 22/7 や π ≈ 355/113 は有名なので…。

円周率に限らず、任意の正の無理数 x について、同様のことを実行でき、この原理を出発点として「d が平方数の場合を除き、ペル方程式には、必ず正の整数解が存在する」ということを証明できるのです。

注: このコードは必ずしも最適近似を与えません。「一番際どいニアミスが起きる場所」を全数検索せず、単にダブルブッキングが判明したら、緩めのニアミスでも検索を打ち切るから。とはいえ、1/N オーダーのニアミスを誘発するので、最適でないとしても、N を大きくすればするほど、いくらでも高精度の近似分数が得られます。

2020-05-26　ゴキブリと猫

画像＝ブッシュ・コクローチ（Ellipsidion humerale）: オーストラリア原産の美しい昆虫（チャバネゴキブリ科）。ブリズベンでは、どこにでもいるような虫らしい。無害なので、別に嫌われてない。Credit: Bjenks (Brian Jenkins): CC-BY-SA-4.0

ゴキブリと猫には、共通点が多い。

人間にとって、ゴキブリはアレルギーやぜんそくの原因になるが、猫もアレルギーや引っかき傷の原因になる。ゴキブリは病原菌を運ぶかもしれないが、猫もノミを運ぶかもしれない。猫は寝てばかりいる。ゴキブリも1日の大半をじっとして過ごすという。猫は強靱で高所から落ちても平気。ゴキブリも強靱で水に溺れても平気。猫は敏しょうで勘がいいが、ゴキブリも素早く勘がいい。ゴキブリはやたらと増えるが、野良猫もやたらと増える…

このように、抽象的な意味では両者はよく似ているが、ゴキブリは一般人から嫌われ、一方、猫は溺愛されている。不思議なことだ。猫は人間の脳をハッキングして「ノミを運ぶし、アレルギーの原因になるし、家具を引っかくし、やたらと放尿するが、それでもかわいい！」と思わせることで、種の存続を図っているのかもしれない。

逆に人家に住むゴキブリは、あえて住人の敵意をあおり、のろまな仲間を殺させることで、エリートだけが生き残る仕組みを自らに課し、個体数の爆発的増加による自滅を防いでいるのかもしれない。

ゴキブリ目には数千種の昆虫がいる。無害な種も多い。大抵の人は、その数種類しか知らない…。例えるなら「ある町（あなたの住まい）は治安が悪い」という知識だけで「地球人は全員悪」と決め付けるようなもの。相手は、古生代から数億年も存続している賢い生き物。それに比べると、ひよっこの人間（あと100年続くかも疑問）は、いまいちアホな面もあるようだ。ゴキブリはともかく、クモのような無害な生き物を恐れ、害虫扱いする人も少なくない。脳の回路にバグでもあるのか、後天的学習に不具合があるのか…まあ確かに危険な虫もいるのですから、安全寄りに倒して「虫はデフォルトで全部やばい！」と判定するのは、生存の知恵なのかもしれません。（結果的に、大部分の虫は「誤判定」により不当に嫌われているわけですが…）