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最新記事 妖精の森 ♌ ペル方程式の夏(2020-12-27)

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チラ裏

2021-05-08 log (1 + i) とか 複素関数って値の変数名がwで草

実数の範囲では log ab = b log a のような計算が成り立つが、複素数の範囲ではどうだろうか。順を追って、あれこれ考えてみたい。

1. z を複素数とする。ez つまり exp z の値を w とするとき、
  A = log w = log |w| + i arg w
という複素数は、
  exp A = w
という関係を満たすが、A = z とは限らない。一般に、A は z を含めて無限個の値を取ることができるのだった。そのうち特定の一つ(具体的には arg w として、偏角の主値 Arg w を選んだ場合)が、log w の主値とされる。主値以外の log w の値は、主値と 2πi の整数倍の差を持つ。

*簡単に言えば…

  • log w の値は一つに決まってなくて、虚部に 2π の整数倍を足したり引いたりしても構いませんよ~
  • だから log w には無限個の値が考えられるけど、どれか一つだけは、虚部が −π より大きく π 以下の範囲になるので、その一つを主値としますよ~

ということだった。

2. 例えば 1 + i は、絶対値 √2、偏角の主値 π/4 なので、log (1 + i) の主値は:
  A = log (1 + i) = log √2 + i(π/4)
という特定の複素数。主値以外も含めて言うと、k を任意の整数として:
  log (1 + i) = log √2 + i(π/4) + 2πik
  = ½ log 2 + ¼(8k + 1)πi

ここで log √2 = log 2½ = ½ log 2 という関係を使った(実数の範囲では、このような計算が成り立つ)。

k = 0 のときが主値に当たる:
  A = log (1 + i) = ½ log 2 + (π/4)i = 0.346… + (0.785…)i

この複素数 A は exp A = 1 + i を満たす。

主値以外の例として、例えば k = 3 とでもすると:
  B = log (1 + i) = ½ log 2 + (25π/4)i = 0.346… + (19.634…)i

この複素数 B も exp B = 1 + i を満たす。

<検算> 複素数 z の実部を x、虚部を y とすると、ez つまり exp z は、こうなる:
  exp z = exp x cis y
ここで cis y = cos y + i sin y は偏角を表す単位ベクトル(偏角そのものは y)。従って:
  exp A = [exp (log √2)] cis (π/4)
  = √2 cis (π/4)  [なぜなら exp (log X) = X
  = √2 [cos (π/4) + i sin (π/4)]
  = √2 (√2 / 2 + i √2 / 2) = 1 + i
exp B では上記の cis (π/4) が cis (25π/4) に置き換わるが、両者は等しいので最終結果は同じ。□

log (1 + i) 自体は、そんなに難しくなかった。上で見たように、その主値は:
  A = log (1 + i) = (1/2) log 2 + (π/4)i = 0.346… + (0.785…)i

3. では log (1 + i)2 はどうなるだろうか? 実数の世界の感覚としては、主値として
  log (1 + i)2 = 2 log (1 + i) = 2A
  = log 2 + (π/2)i = 0.693… + (1.570…)i
とやりたくなるが、この変形は正しい?

答えはイエス。虚部が −π より大きく π 以下の範囲にあるのだから、上記は主値の条件を満たしている。一方、それとほとんど同じに見える次の計算は、正しい主値を与えてくれない:
  log (1 + i)5 = 5 log (1 + i) = 5A
  = (5/2) log 2 + (5π/4)i = 1.732… + (3.926…)i

何がいけないの? まず最後の虚部 3.926… は π = 3.141… を超えている。主値の条件を満たしていないので、これが主値ということはあり得ない!

もう少し具体的に言うと、A の虚部は π/4 なのだから、その4倍を超えると、上記の「主値の範囲」をはみ出してしまう。結果として、
  log (1 + i)2 = 2 log (1 + i)
は正しいのに、
  log (1 + i)5 = 5 log (1 + i)
は正しくない。表面的には同様の変形に見えるのにね…

本をただせば「主値」というコンセプトが、人工的というか、すっきりしない。虚部が −π より大きく π 以下の範囲という約束は、不自然ではないが、必然的でもない…。虚部が 0 以上で 2π 未満の範囲としたっていいわけで…。要は幅が 2π の区間を「約束として」選んでるだけ。…だけど、ごねても話が進まないので、とりあえず虚部が −π より大きく π 以下の範囲という約束を受け入れて、

  • *主値をそのように定義したとき、log ab の形の対数の主値は、どうなるか?

という問題に取り組んでみたい。(続く)

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。


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妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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