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チラ裏
2021-03-06 すてきな証明 tan ((α + β)/2) = ? ウィキペディアより
図のように、一辺の長さ 1 のひし形 OPQR を考える。青い辺 OP の傾きを α、赤い辺 OR の傾きを β とすると、黄緑の対角線 OQ の傾き (α + β)/2 は、縦÷横なので:
tan ((α + β)/2) = (sin α + sin β) / (cos α + cos β)
補足 黄緑の対角線 OQ の傾き（オレンジの点線の角度）は α + ★ だが、★ は緑の角度 β − α のちょうど半分（△OPQ ≡ △ORQ だから、2個の ★ は等しい）。従って:
OQ の傾き = α + (β − α)/2 = (α + β)/2
…方位 α と方位 β のちょうど中間（平均）の方向に当たる。
2カ所の β が等しい角度なのは、OR と PQ が平行だから。
tan ((α + β)/2) は、正攻法ではゴチャゴチャ長い計算になるが、上記の作図によると、見ただけで「そうなって当然！」と思える。出典は Tangent half-angle formula（一部改変）。
参考 普通の証明は次の通り。任意の2角 α, β は α = x + y, β = x − y の形で表現可能（α, β の平均を x、平均との差を y とすればいい）。加法定理を使うと:
sin α + sin β = sin (x + y) + sin (x − y) = 2 sin x cos y
cos α + cos β = cos (x + y) + cos (x − y) = 2 cos x cos y
上の等式を下の等式で割ると:
(sin α + sin β) / (cos α + cos β) = tan x
この x は α, β の平均なので (α + β)/2 に等しい。（終わり）
すてきな証明ではないが、
tan ((α + β)/2) = (sin α + sin β) / (cos α + cos β) = −(cos α − cos β) / (sin α − sin β)
も成り立つ。1個目の等号は証明済みなので、2個目の等号を示す。一般に、AD − BC = 0 は AD = BC と同値で、それが成り立つなら、両辺を BD で割って A/B = C/D が成り立つ。今、A = sin α + sin β, B = cos α + cos β, C = −(cos α − cos β), D = sin α − sin β とすると:
AD − BC = (sin α + sin β)(sin α − sin β) + (cos α + cos β)(cos α − cos β)
= (sin2 α − sin2 β) + (cos2 α − cos2 β)
= (cos2 α + sin2 α) − (cos2 β + sin2 β) = 1 − 1 = 0 （終わり）
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。msystem.waw.pl / videolan.org