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最新記事 妖精の森 ♌ ペル方程式の夏(2020-12-27)

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チラ裏

2021-04-13 目で見る i 乗(その3) (−2) の i 乗、(2i) の i 乗…

5. 前回は 2i などを考えた。正の数の i 乗は絶対値が 1、つまり単位円上にあるのだった。では負の数の i 乗や、虚数の i 乗は?

Y の i 乗の定義は
  Yi = ei log Y = exp (i log Y)
なので、例えば 2i の i 乗は:
  (2i)i = exp [i log (2i)]  …… ①

まず i log (2i) を計算しよう。

w = 2i について、絶対値 |w| = 2、偏角 arg w = π/2。

log w = log |w| + i arg w なので:
  log (2i) = log 2 + i(π/2)
従って:
  i log (2i) = i log 2 − π/2
これを①に入れると:
  (2i)i = exp [i log (2i)] = exp (i log 2 − π/2)  …… ②

π/2 も log 2 も実数。これらは、i log 2 − π/2 の実部と虚部。

実部 x、虚部 y の複素数 x + yi について、exp (x + yi) = ex cis y なので:
  (2i)i = ② = eπ/2 cis (log 2)  …… ③

ここで cis φ は cos φ + i sin φ の略。

複素数 A cis φ の絶対値は A、偏角は φ なので、③の絶対値は A = eπ/2 = 0.2078…、③の偏角は φ = log 2 = 0.6931…(約39.7°)―― 下図の ∠SOT。複素平面上で、大ざっぱに、傾き 40° の線(下図の赤線)と、半径 0.2 の円の交点に当たる。

PNG画像

同様に (−2)i = exp [i log (−2)] = exp [i (log 2 + iπ)] = exp (i log 2 − π) = eπ cis (log 2) も同じ偏角を持ち、絶対値は eπ = 0.0432…

6. このように、絶対値 2 の数 ―― 例えば 2i や −2、前回見た 2 など ―― を i 乗すると、結果の偏角は log 2 になる。より一般的に、絶対値 r の数を i 乗すると、結果の偏角は log r になる。一方、偏角 θ の数を i 乗すると、結果の絶対値は e−θ になる。実際、
  複素数 A cis φ は、絶対値が A で偏角が φ
ということに留意すると(A は正の実数、φ は実数):
  (r cis θ)i
  = exp [i log (r cis θ)]  ← i 乗の定義より
  = exp [i (log r + iθ)]  ← 複素数の log の性質より
  = exp (i log r − θ)  ← i(A + B) = iA + iB なので
  = e−θ cis (log r)  ← 複素数の exp の性質より

要するに、i 乗という操作は「絶対値と偏角の入れ替え」のようなもの。入力の絶対値だけで出力の偏角が決まり、入力の偏角だけで出力の絶対値が決まる:
  入力の絶対値 r → 出力の偏角 log r
  入力の偏角 θ → 出力の絶対値 e−θ

特に、i の i 乗が実数になる訳は、i の絶対値が 1 だから ―― log |i| = 0 という偏角は、正の実数を表す。同じ理由から、i に限らず、絶対値 1 の任意の数を i 乗すれば、正の実数になる!

<例1> 複素数 ω = (−1 + i√3) / 2 = の絶対値は 1 なので、次の数は実数:
  ωi = [(−1 + i√3) / 2]i = e−2π/3 = 0.1231…
  なぜなら ω = cos (2π/3) + i sin (2π/3) = 1 cis (2π/3)

7. では逆に、Yi が実数になるのは、|Y| = 1 の場合に限られるか?

答えはノー。実数の偏角は 0 とは限らない ―― 出力の偏角が π なら、それは負の実数。だから Y = r cis θ について、もし log r = π なら、Yi は負の実数。|Y| = r = eπ = 23.1406… ならそうなる。

<例2> (eπ)i = (eπ cis 0)i = e−0 cis (log eπ) = 1 cis π = −1
  参考: b, p が実数なら(b ≠ 0)、任意の複素数 q について (bp)q = bpq
  従って、オイラーの公式経由で (eπ)i = eπi = −1 とすることも可。

☡ 危険な曲がり角 指数の結合 (bp)q = bpq は、一般には不成立。指数の交換 (bp)q = (bq)p も、一般には不成立。

<例3> (ieπ)i = (eπ cis π/2)i = eπ/2 cis (log eπ) = e−π/2 cis π = −e−π/2 = −0.2078…
  参考: π < Arg b + Arg c ≤ π なら (bc)p = bpcp。例2と組み合わせると
  (ieπ)i = ii(eπ)i = ii × (−1) = 0.2078… × (−1) という計算も可。

☡ 危険な曲がり角 指数の分配 (bc)p = bpcp は、一般には不成立!

実数を表す偏角は 0 と π だけではない。出力の偏角 log r が 0, ±π, ±2π, ±3π, etc. なら、それは実数を表している。つまり、入力 Y の絶対値 r = |Y| が ekπ の形なら(k は整数)、出力 Yi は実数。

<例4> (e2π)i = (e2π cis 0)i = e−0 cis (log e2π) = 1 cis (2π) = 1
  例2と同様に、オイラーの公式経由の (e2π)i = e2πi = 1 も可。

2021-04-11 目で見る i 乗(その2) 2 の i 乗…

2. 前回は ei を考えた。今回は一歩進めて 2i や 3i などを考え、ついでに「i の i乗根」なども求めてみたい。

事実としては、下図のように、2i や 3i なども、複素平面の単位円上にある。

PNG画像

これは Yi = ei log Y という定義に基づく(この定義の意味については後述)。

まず Y = 1 とすると log Y = log 1 = 0 なので 1i = ei × 0 = e0 = 1。

次に Y = 2 とすると log Y = log 2 = 0.693… なので 2i ≈ e0.693i。前回同様、これは単位円上の偏角 0.693(約39.7°)の点に当たる:
  2i = cos (log 2) + i sin (log 2) = 0.769… + (0.638…)i
  グラフの升目からも、0.77 + 0.64i くらいであることを読み取れる。

同様に Y = 3 のとき log Y = log 3 = 1.098… なので 3i ≈ e1.098i。これは偏角 1.098(約62.9°)の点:
  3i = cos (log 3) + i sin (log 3) = 0.454… + (0.890…)i

単位円の円周上で 2i と 3i の間――どちらかというと後者に近い点――に、ei がある(これについては前回詳しく調べた)。e = 2.718… なので、そうなって当然だろう。

以下同様に:
  log 4 = 1.386… ≈ 79.4°  4i = cos (log 4) + i sin (log 4) = 0.183… + (0.983…)i
  log 5 = 1.609… ≈ 92.2°  5i = cos (log 5) + i sin (log 5) = −0.038… + (0.9992…)i
  log 6 = 1.791… ≈ 102.6°  6i = cos (log 6) + i sin (log 6) = −0.219… + (0.975…)i

3. 図からも計算からも、5i が i = 0.0 + 1.0i の近くにあることが分かる。ai = i を満たす a が 4 と 5 の間にあるはず。そのような a について:
  i乗の定義から ei log a = i
  両辺の対数を考えて i log a = log i = πi/2 (※注1)
  両辺を i で割って log a = π/2
  だから a = eπ/2 = 4.81047738…

これは、およそ 4.81i が i に等しいという意味。図を眺めると、4i と 5i の間に i がある…というだけで、別に不思議なことでもない。

ところで、x3 = i を満たす x は、i の3乗根と呼ばれ、i1/3 とも書かれる。x4 = i を満たす x は、i の4乗根と呼ばれ、i1/4 とも書かれる。上記の a は ai = i を満たすのだから、i の i 乗根と呼ばれ、i1/i と書かれたとしても、おかしくない。さて:
  a = i1/i = i−i = (ii)−1 (※注2)
だから、この a は ii の逆数。そして:
  ii = 1/a = 1 / 4.81047738… = 0.20787957…

ii が実数になるのは、ai = i を満たす a が実数だから…という一つの直観が得られた!

(※注1) 複素数 z の対数(の主値)は、実部が log |z|、虚部が Arg z。この場合 |i| = 1 なので実部は log 1 = 0、Arg i = π/2 なのでそれが虚部。

(※注2) bpq = (bp)q のような計算は、一般には成り立たないが、p Log b の虚部が (−π, π] の範囲にあれば成立。この場合 b = i, p = i, q = −1 に当たり、p Log b = i(πi/2) = −π/2 の虚部は 0。同様の計算が成り立たない例は次の通り。1i = 1 は確認済みなので (i4)i = 1 だが、i4i = (ii)4 = (0.2078…)4 ≠ 1。この場合 4 Log i = 4(πi/2) の虚部が範囲外。

4. 複素数の複素数乗の定義は、次のように考えると話が早い。

愛情を求める
「いい方(かた)に会いたいよ」

複素数 Y の i 乗(愛情)を求める。愛情を求めるのだから「いい方に会いたいよ」と願う。

会いたいよ
アイ 対(数) よ
i log Y

それを「いい方」つまり e の肩に乗せればいい。

いい方に 会いたいよ
イー 肩に
e i log Y

より一般的に、任意の複素数 Y, u について、Yu = eu log Y(いい方に優待よ)。覚え方はともかく、なぜそう定義するのだろうか。

A = e = exp □ を成り立たせる □ のことを log A と書く。従って:
  A = exp (log A)
今、A = Yu とすると:
  Yu = exp (log Yu)
実数の世界の対数法則によれば log Yu = u log Y。これを機械的に、上の式に入れると:
  Yu = exp (u log Y) = eu log Y

大ざっぱに言って、それをそのまま定義にした…。実際には、複素数の世界では log Yu = u log Y は必ずしも成り立たないけど、そのことは、上記の定義との関係においては、致命的な問題ではない。定義に従ってちゃんと値(主値)を計算できる。一つの背景として、log Yu と u log Y は等しくないとしても差が 2πi の整数倍なので、e の肩に乗せると、その差が消滅してしまう…。

2021-04-10 目で見る i 乗

1. xi を純虚数とすると、e の xi 乗は、単位円上の偏角 x の点(オイラーの公式)。

e の i 乗は、x = 1 のケースなので、偏角 1(約57.3°)の点に当たる。

PNG画像

ei の実部は cos 1 = 0.5403…、虚部は sin 1 = 0.8414…
  つまり ei = cos 1 + i sin 1

絶対値 |ei| = 1 (原点からの距離※)

偏角 Arg (ei) = 1

※ なぜなら任意の θ に対して cos2 θ + sin2 θ = 1。距離はその平方根。(ここでは θ 自体も 1。)

弧度法の角度 1 は、度数でいうと (180 / π)° = (180 / 3.14…)° = 約57.3°。

角度 π / 3 = 1.047… は 60° なので、ei の実部・虚部は、それぞれ cos 60° と sin 60° に近い:
  cos 60° = 1 / 2 = 0.5  (cos 57.3° ≈ 0.54
  sin 60° = √3 / 2 = 1.732… / 2 = 0.866…  (sin 57.3° ≈ 0.84

2021-04-09 ¼↑↑∞ = ½ 有理数に収束する無限タワー

クヌースのタワーといえば「巨大な数を表す」というイメージが強い。

<例1> 3↑↑4 = 3333 = 3327 = 37625597484987 = ざっと3兆6000億桁の数

約束として a^b^c = abc のようなものは、右から(上から)計算する。a^b^c = a^(b^c) であり (a^b)^c ではない。

ここでは「タワーに小さい正の数を入れると、どうなるか?」を考えてみたい。直観的には、巨大の反対で、どんどん 0 に近づくような気もするが…

  1. z = 1/4 = 0.25
  2. z↑↑2 = z^z = zz = (1/4)¼ = 1/√2 = 0.7071…
  3. z↑↑3 = z^z^z = (1/4)1/√2 = 0.3752…
  4. z↑↑4 = z^z^z^z = z^0.3752… = 0.5944… あれ、前より増えたよ
  5. z↑↑5 = z^z^z^z^z = z^0.5944… = 0.4386… 今度は減った
  6. z↑↑6 = z^z^z^z^z^z = z^0.4386… = 0.5443… また増えた

何やら振動しつつ、振幅が小さくなって収束しそうな気配が…

ブルートフォースで数値計算してみましょう。

\\ PARI/GP
tower(z,n) = { my(ret=1); for(i=1, n, ret=z^ret); ret; }

z↑↑100 = tower(z,100) = 0.5000000000000000475058…

z↑↑200 = tower(z,200) = 0.50000000000000000000000000000000574504…

n→∞ のとき z↑↑n = 0.5 になると予想される。いったん予想できれば、証明はトリビアル:

証明 z = ¼ のとき L = z^z^z^z^… が存在するなら L = z^(z^z^z^…) = z^L つまり L = z^L。L = ½ は、これを満たす。実際 (¼)½ = √¼ = ½。 □

¼ の「無理数の無理数乗」乗…のようなものが有理数に収束するのは、面白い!

上の証明から分かるように、f(z) = z^z^z^… を求めることは、f(z) = zf(z) という「不動点」を求めることに当たる。

ある数 a が与えられたとき、xex = a の解 x を W(a) と書く(ランベルトのW関数)。

<例2> x = log 2 のとき
  xex = (log 2)(elog 2) = (log 2) × 2 = log (22) = log 4
  従って W(log 4) = log 2

上記の「不動点」は、W関数を使うと −W(−log z) / log z に当たる。z = ¼ のとき L = ½ になるという事実は、W(−log ¼) = W(log 4) = log 2 と結び付く。

<例3> ½^½^½^… = 0.6411857445…

<例4> i^i^i^… = 0.4382829367… + i0.3605924718… (A077589参照)

<例5> (1/π)^(1/π)^(1/π)^… = 0.5393434988…

<例6> (1/e)^(1/e)^(1/e)^… = 0.5671432904… = W(1)

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。


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ぼくの名前は冥王星(2013-09-30)
いいもん、いいもん! これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから! …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
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我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)(2018-01-14)
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ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
空は青くて真白くて(2014-11-23)
「わたしの心は躍り上がる」(ワーズワース)/「空は青くて白くて」(フィンランド民謡)

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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