妖精現実

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チラ裏コーナー（過去のチラ裏）

2019-11-08　誰にも解けない問題　「誰にも解けない問題を作るのと、その問題を解くのは、どちらが難しいか」というネタ。

1) デジカメで適当に写真を撮る → その画像のハッシュを調べる → 「このハッシュを持つファイルを作れ」。簡単に出題でき、事実上、誰にも解けない。出題者自身は一つの答えを持っている。この形の問題を解く最も効率的な方法は、出題者に銃を突きつけ（あるいは出題者を買収して）、直接答えを聞き出すことでしょう。

2) 「解がない問題」を「誰にも解けない問題」と呼ぶなら、そのような問題はいくらでも作れる。「20より大きい7の約数を求めなさい」「平方すると−5になる整数を見つけなさい」考えても面白くない。

3) でたらめな巨大整数（1000桁くらい）を書いて「この数を素因数分解せよ」。問題を作るのは簡単だが、今のところ一般には誰にも解けない。出題者自身にも解けないし、暴力でも金の力でも解けない…。

4) コップに適当に水を入れる → 「この中にある水の分子の正確な数を答えなさい」。これは良くない。数えている間にも蒸発して数値が変動してしまうでしょう…。

5) 円周率の10進展開について「最初にゼロが連続x個現れるのは小数点以下何桁目か」 → 簡単に出題できる。x が巨大だと、事実上、誰にも解けない。

結論として、出題者にも答えが分からないような「無責任な問題」なら、誰にも解けない問題を作るのは易しい。「きちんとした難問」（出題者は答えを知っている）については、一方通行的な関数を使えば容易に生成できるが、「出題者を拷問あるいは買収する」という「解法」があるので、厳密な意味で「誰にも解けない」とは言い切れない。

2019-11-07　PS4の西部劇、MP4のカバーアート

世界的に人気の高いゲームがPCに移植され、5日にリリースされたのだが、いろいろ不具合があったらしい。「CPU負荷100%でフリーズしてしまい、そもそもプレイできない」というのもその一つ。思わぬ影響で、ものすごい数のゲーマーがこの辺境サーバーに殺到した。昔作った「プロセスをわざと遅くするツール」（エンコ中の発熱抑制用）が問題回避に役立つらしい。お役に立てることはうれしいけど、関係ない商用ゲームの尻ぬぐいでサーバーが落ちたら困るので、archive.org に直リンして、そっちから落としてもらう形にした。

話変わって、foobar2000。最近のベータを試してみた。「MP4にカバーアートを付けると、同じ画像を2カ所に埋め込む」というサイズ的に無駄な仕様が多少改善され、MP4の標準準拠に近づいていた。書き込むパターンによっては、標準の moov.udta.meta の代わりに moov.udta.tags という独自の場所に書き込んでしまうが（不具合というより仕様らしい）、そうならないこともあるようだ（検証中）。恐らくこの問題の根源は、MP4コンテナでは添付ファイルに「そのファイルが何なのか」というコメントを書き込む場所がない…ということ。仕様上「表紙・裏表紙・背表紙・歌詞カード」といったコメントを付けられない。

それを無理やり付ける方法として covr （カバーアート）の代わりに cvrx （カバー拡張）という独自ボックス（アトム）が使われるらしい。そんな仕様無視のむちゃくちゃ（★注）するくらいなら MKA に入れれば、添付ファイルにコメントできるし、添付ファイル名も保存できるのだが…いかんせん、伝統的にオーディオマニアの間では MKA の人気はあまり良くないようだ。10年以上前、サンプル単位の精度がなかったのが、尾を引いているのかもしれない。問題自体はとっくに解決済みだが、イメージが回復したかは疑問。

（★注）この位置の添付画像は、MPC系からもLAVからも見えない。つまり互換性（相互運用性）が低い。

しかし MKA は多目的フォーマット。将来「画像なしの字幕付きMKA」が広くサポートされるようになれば、ラジオドラマ（オーディオドラマ）に字幕を付けるという用途で MKA が普及する可能性は十分に考えられる。

2019-11-06　「最後の素数」（その4）　10の120乗まで、キッチリ回せ！！

ここまでの話から、
p = 20*10^120 + 20*10^66 + 23*10^18 + 23*10^6 + 23*10^3 + x
0 ≤ x ≤ 1000
の形の素数が存在すれば、その中にフランス語最後の素数（ABC順）があることが分かる。だが100桁を超える巨大な数で「下3桁しかいじれない」というのは、相対的な大きさで言えば「針の穴のような細い隙間で素数を探す」ようなもの。そんな都合のいい素数がそもそもあるのか。あるとしても、どうやって見つければいいのか？

実は PARI の nextprime を使えば、候補はすぐに見つかる。該当するのは x = 349 または 657 または 727 の三つ。いずれの x に対しても p が本物の素数になることは、別途証明される。349 は trois から始まる言葉だが、残り二つは s から始まる言葉。だから、x = 349 のケースが「ABC順で最後」。

million, billion, trillion, ... と上がっていっても、ABC順で trillion より先には行けないように思える。常識の範囲ではそうだが、諦めずに11番目まで上がると undécillion が現れて「Tの束縛」が破れ、さらに20番目まで上がると vigintillion が現れて「Uの束縛」も破れる。もっと上の数詞は考えられるが、W より後ろの文字から始まる数詞はない。

相対的には「針の穴」でも、調べてみると、案外、素数が詰まっていた。100以下の素数は25個（4%）、1000以下の素数は168個（2%未満）…という減り方（どんどん密度が薄くなる）から素朴に考えると、122桁の数に1000分の3（0.3%）も素数が含まれているのは、ちょっと意外な気もする。エラトステネスのふるいによれば、数が大きくなればなるほど、何重にも何重にも「ふるいの弾幕」が張られ「一度も弾に当たらない（何の倍数にもなっていない）数」はまれになるはず…。もっとも素数が薄くなると「新しい弾幕の砲台」も減る。2の倍数・3の倍数・5の倍数・7の倍数…といった「古い弾幕」はどこまでも有効だが、「新しい弾幕」がだんだん薄まる結果、意外と「生き残る素数」も出てくる。

具体的に、
pi(x) = x/log(x)
pi(10^121) / 10^121 ≈ 0.003589
なので、計算上、122桁の数では整数1000個につき素数が3～4個ある。

素数マニアはよくメルセンヌ素数の類いを持ち出して「とんでもない桁数の素数が見つかりました。世界記録更新！」と大騒ぎする。2019年現在、既知の最大素数は約2500万桁、2番目は2300万桁。一見「こんなに大きな素数は非常に珍しい」かのような印象を与える。ところが上記と同様に考えると、同じ桁数の素数はもっともっといっぱいある（大ざっぱに、整数1億個につき1個以上）。巨大素数の新記録はソフト・ハード両面の進歩、工夫と情熱の産物であり、人類の進歩としては素晴らしいことなのだが、人類を外から見ると「2000万桁程度の素数は何億個も何兆個も何京個もあるのに、そのうち1～2個しか見つけられない」というのは自慢にならない。「おれの素数の方がでかいぞ。1000万桁を突破したぞ！」と虚勢を張っても、実際にはたった1000桁の因数分解ができない…。

2019-11-04　2426256797について

リベラの P(0) = 2426256797 についての観察は、単に「k=1..9 に対して P(k) = P(k-1) + 2k も素数である」というだけでなく、「P(k) の直前の素数は P(k-1) である」すなわち「その部分の素数ギャップが 2k である」ということを言いたかったらしい。それにしても「より大きな例は知られていない」という主張はおかしい（1秒でリストアップできる）。「最も小さな例である」と言うのなら、これはこれで興味深い。

Prime Gaps     2 4  6   8   10    12     14      16       18
Primes       +02 6 12  20   30    42     56      72       90
 2426256797 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
 6430890287 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
 8518049207 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
55065405671 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
55373581421 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
60590486081 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
66945470477 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
76566117071 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
78067026071 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P
95748657617 : PP-P--P---P----P-----P------P-------P--------P

2019-11-02　「最後の素数」（その3）　巨獣召喚

「メキニ・メキニ・ヌダラダラ～　いでよっ、アンデシリョン！」

じゃじゃーん　Undécillion　「ぎゃおーん！」

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

テロップ「巨大怪獣アンデシリョン　10の66乗（100分の1無量大数）」

S や T の頭にある trillions を undécillions に置き換えれば、それだけで「もっと後ろ」の素数が非常に多数考えられる（アルファベット順で u は t より後ろなので）。S を見たとき最初に考えた抜け道は、これだった。だが安心するのはまだ早い。

ラスボス「ワーハッハッ、66乗ごときで巨大とは笑止千万・無知蒙昧。唸れ！　衝撃の！　ヴィジャンティリョン！」

ぞぞっ・ぞぞっ・ぞぞぞっ　Vigintillion　「うをおーん！」

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

テロップ「檄！帝国・最終巨獣ヴィジャンティリョン　10の120乗」

ラスボス「見ろ！　無量大数がゴミのようだ」

ABC順で v は u よりさらに後ろ。ABC順でこれより後ろの単位はない。これら2種類の単位を使って「フランス語最後の素数」が構成される。V1 より V2 の方が後ろであることに注意すれば、この先はほぼ一本道だろう。

V1: Vingt-trois vigintillions 23*10^120
V2: Vingt vigintillions       20*10^120

2019-11-01　「最後の素数」（その2）　アン・ドゥー・トロワ、おフランスざーます！

その1の続き。フランス語なんて縁がない人でも「アン・ドゥー・トロワ」くらいは聞いたことあるでしょう。ABC順で trois の方が six より後なので、????? の部分が trois やそれに似た言葉になれば、Sより後ろの素数の一例となる。

S: 23000000000023023661
Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille six cent soixante et un
T: 23000000000023023???
 Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille ?????

従って、上記の形の数のうち、下3桁が「3」か「30」台か「300」台になる素数が一つでもあれば十分だが、最初の2種類の可能性は、すぐ否定されてしまう。

23000000000023023003 = 3で割り切れる
23000000000023023031 = 409で割り切れる
23000000000023023033 = 3で割り切れる
23000000000023023035 = 5で割り切れる
23000000000023023037 = 19で割り切れる
23000000000023023039 = 3で割り切れる

そこで下3桁が「300」台を考えると、1個だけ「343」が素数となる。

S: 23000000000023023661
Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille SIX cent soixante et un
T: 23000000000023023343
 Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille TROIS cent quarante-trois

これで「Sはアルファベット順で、フランス語最後の素数」という主張を崩すことができた。この他、もし仮に下3桁を「001」「013」または「020」台または「600」台のある種の数にできれば S より後ろになるが、そのような素数は「647」（Six cent quarante-sept）だけであり、これは「661」（Six cent soixante et un）よりABC順で前なので、この桁数では T が唯一の反例。

注: フランス語の正確なスペルを覚えている必要はない。その1でリンクした参考サイトからコピペすれば十分。「フランス語」という表面に惑わされず「アルゴリズムの問題」と割り切ろう。

しかしまだ問題が解決したわけではない。実は T も「本当の最後」ではなく、アルファベット順でもっと後ろの素数を作る方法がある。その方法は「とんち」ではなく、あくまで「普通の数詞」の範囲だが、「京・垓・𥝱」の類いの非日常的表現（大きな数の名前）が絡んでくる。「ばびっと数え歌　でかい数編」がヒントになるかもしれない。

最終的には、あるタイプのばかでかい数の下3桁を調整して、なるべくABC順で後ろの素数を見つけることに帰着される。一般の整数について、素数性の判定は簡単ではない。上記の S や T にしても「たったの trillion のオーダー」とはいえ、ロングスケールでは2の64乗を超える。素朴な試行除算だけでは厳しい。

ここでは取りあえず PARI の isprime で素数性を証明した。24桁以内の数については「最初の13個の素数を底に SPRP なら、本物の素数」ということが証明されているので、それを自力でやってもいいのだが、まあ PARI を使うのが手っ取り早いでしょう。

2019-10-22　「最後の素数」（その1）

素数に「本当の最後」はないこと（いくらでも大きな素数があること）は、よく知られている。けれど例えば「無量大数」までの数詞を普通に使うという条件で、五十音順で日本語最後の素数を考えることはできる。Rivera は数日前、フランス語について、同様のことを投稿した。いわく:

「S = 23000000000023023661 は、アルファベット順において、フランス語の最後の素数である」

上記の主張は、いろいろな意味で正しくない。ABC順でこれより後ろの素数はたくさんある！　数学パズルや素数が好きな方は、挑戦してみてほしい。

〔フランス語の数詞の参考資料〕1000まで1個ずつ書いてあるページ。数値を単語に変換してくれるサイト。

★考えても分からない方は → ヒント

注: 現在（1961年以降）のフランスでは、公式にはロングスケールが使われる（billion=1兆, trillion＝100京）。実際の用例上は、必ずしもそういう言い方にはならないのだが、このパズルでは公式ルールを使う。英語風のショートスケール（billion=10億, trillion＝1兆）ではない。英語と違い、フランス語の million, billion などは、2倍以上だと末尾に -s が付く。cent, mille は英語の hundred, thousand と同じで、2倍以上でも -s が付かない（※）。

（※）例外として、下3桁が端数のない 200, 300, …, 900 のときは cents が使われる（200=deux cents, 201=deux cent et un）。80=quatre-vingts, 81=quatre-vingt-un における vingt と同様。ここでは素数を考えているので、例外ケース（100の倍数）は無関係。

★「最後の素数」（その1）のヒント: 下記のように、リベラの数 S では ????? の部分に six がある。辞書順で six より後ろの単語が ????? に来るようにできれば、アルファベット順で S より後ろになる例が一つ見つかったことになる。

S: Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille six cent soixante et un
T: Vingt-trois trillions vingt-trois millions vingt-trois mille ?????