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最新記事 ハッピー・ハミルトン・デー☆4次元もこもこ180年記念(2023-10-16)

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チラ裏

チラ裏」はメモ。誤字・誤記・脱線が多いです!

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2024-03-27 五・六・十角形の恒等式 現代とは違う感覚

#数論 #正五角形 #

画像: 円に内接する正五角形・正六角形・正十角形。今から2000年以上前の古代ギリシャでは、ものすごく幾何学の研究が進んでいた。ユークリッドの『幾何学原論』第13巻(最終巻)の命題10は、次のような趣旨の、優雅で面白い定理。

「同一の円に内接する正五角形・正六角形・正十角形の一辺の長さをそれぞれ x, y, z とすると、 x2 = y2 + z2 が成り立つ」

全ては掛け値なしに「小学生の算数の範囲」。何しろ三角関数どころか、平方根の記号も、「1, 2, 3」のようなアラビア数字も知らない古代人が記したのだ…。

ユークリッド自身の証明は、一見謎めいている――現代の感覚では「確かにその補助線を引くとそうなるけど、なぜそんな所に補助線を引くの?」といったところか。しかし「学問の進歩した現代なら、2000年前よりうまくできるはず」というおごりを捨て、謙虚にユークリッドの証明を検討しているうちに、「この古代の証明こそが最も軽妙」と思えてきた。

そこでこのメモでは、ユークリッド自身による証明を、簡単化して紹介したい。

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2024-03-25 あしたの嬢さん 立て、立つんだ、クララ!

#漫画・アニメ #ネタ

千歳のママの「療養先」なぜスイス?」の続き…?

ED1
ゼーゼマン家の 嬢さんが
きょうは へき地の山小屋で
あしたを目指して 立ち上がる
「立て 立て、立て!」
「立つんだ、クララ!」
バリアフリーは アルムにゃないぜ
立たなきゃ トイレに行けないよ

*

ED2
ゆけ 斜面を おいらペーター
夕日がばら色 スイスの山は
みんなはこの俺を ヤギの大将という
山を駆けて独り ヒュー(口笛)!
文無し腹ペコの 名もないヤギ飼いは
干し肉をかみ切った ヤァー!
ゆけ 荒野を ヤギの大将
朝日が昇るよ アルムの峰に

「アルプスの少女~」を見てて、このおじいさん途中で死んじゃうんだろうか?と微妙に心配だった。

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2024-03-24 「正五角形の矢」の研究(続き)

#数論 #正五角形 #

「矢」と円の半径の関係。二重根号外し(基本形)の四つの方法。

アルキメデスは正96角形を使い、円周率が 3 + 10/71 (= 3.140…) よりわずかに大きいことを証明した。同じ正96角形を使って、この下界を 3 + 11/78 (= 3.141…) に改善できる。

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2024-03-23 「正五角形の矢」とは…

#数論 #正五角形 #

正五角形の矢の図。正五角形の「矢」というのは、外接円と辺の間にできる弓形(図の黄色い部分)の高さ(赤い矢印)――辺の中点と弓形の弧の中点の距離。

それが何の役に立つのか? 大人は言うかもしれないけど、眺めてきれいな図には違いない。

正五角形の五つの辺は対称的なので、五つの弓形は合同で、5カ所のどこで測っても「矢」――つまり「弓形の高さ」――は同じ。

「矢」は、外接円の半径(水色・実線)と、内接円の半径(黄緑・点線)の差に等しい。なぜなら…
  内接円の半径 + 矢 = 点線の長さ + 赤い矢印の長さ = 外接円の半径

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2024-03-22 「正五角形の矢」の研究 小学生の算数から

#数論 #正五角形 #

画像1。のび太くんは、平面上のでたらめな2点を A, B として、AB を直径とする円を描きました。そして、その円周上から勝手に選んだ点を C として、三角形 ABC を作りました。

不思議なことに、何度やっても、どの向きにどんな形の三角形を描いても、正確に作図すると ∠C はちょうど 90° になるのです…。

∠A, ∠B の大きさはいろいろに変えられるのに、なぜ ∠C の大きさが固定されてしまうのでしょうか?

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2024-03-20 正五角形の作図 二つの証明

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

画像9。正五角形の作図自体は簡単。でも「なぜその方法で正五角形になるの?」という理由は、必ずしも簡単ではない。

たった3行の軽妙な証明を紹介したい。教科書などでは軽んじられ、無視されている csc, cot だが、うまく使うと威力はでかい!

同時収録――三角関数を一切使わない「平易」な別証明。三角関数なしだと「平易」どころか、むしろ面倒だけど、使えるツールを制限した「縛りプレイ」。

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2024-03-19 Girard (Newton) の恒等式 解の3乗和を係数で表現

#数論 #1 の原始根

2次方程式 x2 + U1x + U2 = 0 の解が x = a, b のとき、 U1 = −(a + b), U2 = ab であること、3次方程式 x3 + V1x2 + V2x + V3 = 0 の解が x = a, b, c のとき、 V1 = −(a + b + c), V2 = ab + bc + ca, V3 = −(abc) であることは、よく知られている。どちらも解の和は、係数 −○1 に等しく、解の平方和は、係数を使うと次のように表現される。
  a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = (U1)2 − 2U2
  a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = (V1)2 − 2V2

どちらも ○1 の 2 乗から ○2 の 2 倍を引いたもの。個々の解が不明でも、解の和や平方和が分かるのが便利。では解の立方和は、どう表現されるか?

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2024-03-17 二重根号除去の基本形 アルゴリズム的考察

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

(5 + 25) の二重根号は簡単にならない。 (6 + 25) の二重根号は簡単に除去できる。その違いは…

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2024-03-14 cot (θ/2) = csc θ + cot θ の可視化 正五角形の高さ

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

画像7。正五角形の「高さ」というものを定義するとしたら、それは、一つの辺を「底辺」として、そこと反対側の頂点との間の距離だろう。例えば、正五角形 ABCDE の頂点 C と、反対側の辺 AE を結ぶ垂線の長さ。「底辺」つまり AE の、中点を P とすると、線分 CP の長さに当たる。

この作図で面白いのは cot の半角公式…
  cot θ/2 = csc θ + cot θ
…の具体例(θ = 36°)が、正五角形の高さとして、生き生きと目で見えること。「対辺 1 の直角三角形の隣辺は cot、斜辺は csc」という観点の効用だろう。「csc は sin の逆数で cot は…」と sin, cos を基準に考えたら面倒な事柄が、ちょっと見方を変えるだけで鮮明に。

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2024-03-12 正五角形の内接円・外接円 cot と csc

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

再び話をリセット、正五角形の面積を求めるところから。

∠P が直角の直角三角形 OAP があって、 ∠O = 36° に注目するとしよう。画像6。このとき対辺 AP ――「注目してる角がある頂点」の向かい側にある辺――の長さを 1 とすると、隣辺 OP ――「注目してる頂点」と「直角がある頂点」を結ぶ辺――の長さは cot 36° に等しい。

もう一つの辺(斜辺 OA)の長さは csc 36° に等しい。記号 cot, csc は、それぞれ cotangent, cosecant を略したもの。この二つの語は、語源的には「余角の接線」「余角の割線」というような意味だが、以下の話は語源の意味とあまり関係ない…。

隣辺を「底辺」、対辺を「高さ」あるいは「垂辺」とでも呼んだ方が、用語としては分かりやすい。その場合、縦横・上下などの位置関係が固定されていないことに注意。「底辺」というと、図の下部にある水平方向の辺を連想してしまうかもしれない…。隣辺はあくまで「注目してる角度に隣り合う辺」。作図上、どの位置にもなり得る。同じ △OAP でも ∠A に注目すれば AP が隣辺(底辺)、OP が対辺(高さ)。ここでは、直角三角形の直交する2辺(斜辺以外の2辺)について、選択された角に近い方を隣辺、遠い方を対辺と呼ぶことにする。

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2024-03-09 cot 36° の直接計算(続き) cot の加法定理

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

前回の続き。今度は cot の5倍角から。 cot 18° の倍角として cot 36° を得るのは定型的なコースで、計算練習程度の意味しかない。

加法定理を使った cot (54° − 18°) の計算は、二重根号だらけで、初見では困惑するかもしれない。
  ((5 − 25) (5 + 25) + 1)/((5 + 25) − (5 − 25))  なんじゃこりゃ?w

あの手この手のトリックを重ね、華麗なのか強引なのか、とにかくコイツを簡約する。

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2024-03-07 cot 36° の直接計算 珍奇なアプローチ

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

前回、正五角形の面積の計算に使う cot 36° を、間接的に―― cos 36° などの値を経由して――求めた。実は cot 36° を代数的に直接求める方法もある。

その一つは「tan 5θ の式を tan5 θ で割って4次方程式を得る」という奇手。意外とエレガントで、実質、2次方程式を一つ解くだけで cot 36° が求まる。もしかすると cot 36° の直接計算としては、この方法が最速かも…

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2024-03-05 一辺 a の正五角形の面積 cot バージョン

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

一辺 1 の正五角形の面積」(算数バージョン)は、簡単そうに見えて意外な困難を含んでいた。話をいったんリセットして、今回は素直に三角関数を使う。

画像3。正五角形 ABCDE の中心 O と各頂点を線で結ぶと、正五角形は 5 個の合同な三角形に分割される。分割されてできる三角 1 個分の面積を求め、それを 5 倍したら、見通しが良さそう。

この三角形の面積は、三角関数を使えばスッキリ表現可能。画像のように、単位円(半径 1 の円)に内接する正五角形を描いたとすると、緑の △AOE について、底辺 AE の長さは |AP| = sin 36° の 2 倍、高さ |OP| は cos 36° なので…
  緑三角の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2
   = 2 sin 36° × cos 36° ÷ 2 = sin 36° cos 36°
AE が底辺なので、三角形の高さは図の「横」方向。

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2024-03-03 一辺 1 の正五角形の面積 算数バージョン

#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形

画像1。一辺の長さが 1 の正方形は、面積 1。

一辺 1 の正三角形の面積は 3/4 = 0.433…。

一辺 1 の正六角形の面積は、一辺 1 の正三角形のタイル 6 枚分なので、3√3/2 = 2.598…。

では一辺の長さ 1 の正五角形の面積は?

正五角形では、一つの頂点から2本の対角線を引くことができる。2本の対角線によって、正五角形は、三つの二等辺三角形に分割される。各三角形の底辺と高さを決定できるので、三つの三角形の面積を足し算すれば、正五角形の面積が求まる。原理は単純。ところが、その足し算に関連して、思いがけない困難が生じる。「足し算のどこか難しいっていうんだよ。繰り上がりを間違えたとか、桁数がものすごいとか、そんなことか?」…まぁ、やってみましょう。

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チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

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2023年6月1日 Dirichlet の美しい証明 x4 ≡ 2 が解を持つ条件

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cos i = ?
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数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
楕円曲線で因数分解(2016-08-14)
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楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法(2016-10-02)
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アルカンの異性体の数の公式・第1回 小さなパズルと不思議な解(2015-09-20)
異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。(全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい)
「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか?(2014-08-03)
数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか?」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか?」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
平方剰余の相互法則(2003-03-26)
「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
楕円曲線暗号(2003-11-28)
最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装? 実装はダサいが、内容(ロジック)は正しい。
触って分かる公開鍵暗号RSA(2004-02-04)
理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル(2006-04-10)
真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。
ばびっと数え歌 でかい数編 (2019-09-01)
37桁の 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000(=1澗)までの数え歌。日本語・英語・SI接頭辞・2進数付き。 〔v3: 2023年3月8日〕
【注意】SSDは使ってないと壊れやすい 用がなくても週に1度は電源を(2021-06-06)
「SSDは、アクセスが速く、回転部分がないので壊れにくい。従来のハードディスクより優れた新技術…」という一般的イメージを持たれている。一方、SSDには、特有の弱点があることも知られている。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい(2017-09-03)
曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い(2017-11-26)
「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解(公転最速理論?)、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2022年9月1日〕
<PNG画像: 春分年・夏至年・秋分年・冬至年の長さの変動は、位相がずれたサインカーブのような曲線を描く>
公式不要の明快な曜日計算(2016-10-23)
公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星(2013-09-30)
いいもん、いいもん! これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから! …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説(2019-03-24)
我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)(2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2023年4月13日〕
ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2020年11月24日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…


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