妖精現実フェアリアル

チラ裏コーナー（過去のチラ裏）

2021-01-23　arccos（その3）

単に arccos だけを考えるなら、
arccos z = −i log (z + √z² − 1)　【あ】
という定義が自然。簡略化して、こう書いていもいい。
arccos z = i log (z + √z² − 1)　【い】

主値にこだわるなら、やはり次の定義が妥当。
arccos z = −i log (z + i √1 − z²)　【う】

【う】を整理すると次の通り。R = 1 − z² として、その平方根を ρ とすると:
arccos z = −i log (z + iρ)　【え】
arcsin z = −i log (iz + ρ)　【お】

arccos, arcsin のこの「対称性」が【う】の重要なメリットで、主値をそう定義すると:
Arccos z + Arcsin z = π/2　【か】
実数の場合に成り立つこの基本的関係を、複素数の場合に拡張できる。

【う】を使うと、−1 ≤ z ≤ 1 のとき arccos の主値は、実数の範囲の arccos の主値と一致する。【あ】でもそうなるのだが、【あ】の定義では z = cos i について Arccos z が i に戻ってくれない。【う】は感覚的に、この点も気持ちいい:

「虚部が正の純虚数 iy について【う】の主値は　Arccos (cos iy) = iy を満たす」　【き】

逆に【あ】の方がいい点は、次の通り。主値にこだわらず arccos を多価関数として見る場合、オイラーの公式から自然に導かれるのは【あ】で、【う】を導くには
√D = (√−1)(√−D)　【く】
という不自然な変形を行う必要がある。変形の結果も i が1個増えて、もともとの式より少し複雑になる。このような変形をするには「なぜするか」を明確にする必要があるのに、往々にして教科書ではその説明をせず、天下り的にこれを行っている。主値として見た場合、この変形が許されるのは、z が実数なら D ≥ 0 の場合、z が実数でないなら D が複素平面の第1・第2象限にある場合に限られ、多価関数であることを明示しないまま上記のような変形を行うのは不当。一般論として「このような（一見正しそうだが間違った）変形が許される」という誤解を広める原因にもなる。

結論　arccos の「分かりにくさ」には、以下のような問題が絡んでいて、その点を意識すると、状況がかなり透明になる。
1) 主値は便宜上の定義にすぎない。「これが絶対」と押し付けるようなものではない。
2) 多価関数である arccos を多価関数のままで扱おうとせず、いきなり branch cuts の議論になるぶしつけさ。
3) 主値を考えるにしても、怪しげな【く】の変形を挟んで【う】の形にする理由。【え】【お】の対称性、【か】【き】の関係は、重要なモチベーションになるだろうが、それらは定理ではない（そうなるように主値の定義を選択している）。
4) 多価バージョンでないと正しくない【く】の変形を使って、主値バージョンを引き出す不明朗さ。

2021-01-21　arccos（その2）

問題　複素数 z が与えられたとき、z = cos x を満たす x を求める。

答え　D = z² − 1 と置いて、その平方根を δ とする。x = i log (z + δ)。

符号は逆でもいい。平方根の符号を逆にした i log (z − δ) が許されるのはもちろんだが、全体の符号を逆にしても構わない。つまり ±i log (z ± δ) の符号をどう組み合わせてもOK。「どの値を主値とするか」については、ここでは考えていない。主値と断らない log については、2πi の整数倍の違いを区別しないものとする。

【例1】　arccos 3 を求める。z = 3, D = z² − 1 = 8, δ = √8 なので、
arccos 3 = i log (3 + √8) ≈ 1.76i
符号を逆にした −i log (3 + √8) ≈ −1.76i でも構わない。

【例2】　arccos 4 を求める。z = 4, D = z² − 1 = 15, δ = √15 なので、
arccos 4 = i log (4 + √15) ≈ 2.06i
符号を逆にした −i log (4 + √15) ≈ −2.06i でも構わない。

多価関数として、log (z + δ) を log (z − δ) に置き換えることは、log (z + δ) を −log (z + δ) に置き換えることと同じ。なぜなら (z + δ) と (z − δ) の積は z² − δ² = z² − D = z² − (z² − 1) = 1 なので、(z − δ) = (z + δ)⁻¹ であり、
log (z − δ) = log [(z + δ)⁻¹] = −log (z + δ)。このことから、log の中にある複号を考える代わりに、全体の値の±を考えてもいい。もともと cos x = cos (−x) なのだから、x が題意を満たせば −x も題意を満たすことは当然だろう。

ささいなことだが、上記の考察から D = z² − 1 のペル方程式の解が (z, 1) であることも分かる。

注意　log (A⁻¹) = −log A は正しい変形だが、主値バージョンについて Log (A⁻¹) = −Log A が成り立つ保証はない。実際、z = −1 なら δ = 0 だが、Log (z − δ) = Log (−1) = πi と −Log (z + δ) = −Log (−1) = −πi は、等しくない。その場合でも、最終的に得られる x = ±π は、どちらも cos x = −1 を満たす。

X = arccos (19/8) = i log (19/8 + 3√33/8) ≈ 1.51i を使うと、トリボナッチ定数を次のように書くことができる。cos の性質上、X の符号は反対でも構わない。
α = [4 cos (X/3) + 1] / 3 = 1.83928675514…
α は w³ − w² − w − 1 = 0 の実数解であり、X を X ± 2π に置き換えることで、同じ3次方程式の残りの2解が得られる。
β, γ = −0.4196433776… ± i0.6062907292…
ビエト風の解法では、この場合、実数の範囲の (ar)cosh を使って α を求めることもできるが（その方が普通かもしれない）、複素数の範囲で考えれば (arc)cos のままでも、3解を統一的に書き表せる。結果は arccos の主値の定義に依存しない。

【例3】　arccos i を求める。z = i, D = z² − 1 = −2, δ = i√2 なので、
arccos i = i log (i + i√2) = i log [i(1 + √2)]
= i[log i + log (1 + √2)] = i[πi/2 + log (1 + √2)]
= −π/2 + i log (1 + √2) ≈ −1.57 + 0.88i
符号を逆にした π/2 − i log (1 + √2) ≈ 1.57 − 0.88i でも構わない。途中で使った log i = πi/2 は、オイラーの公式に πi/2 を入れた exp (πi/2) = i の逆算に当たる。

補足　log (iA) = log i + log A は正しい変形だが、主値バージョンについて Log (iA) = Log i + Log A が成り立つ保証はない。−π/2 の代わりに 3π/2 を使っても構わない。1 + √2 の代わりに √2 − 1 を使っても構わない。

【例4】　同様に arccos (2i) = i log (2i + i√5) = i log [i(2 + √5)]
= −π/2 + i log (2 + √5) ≈ −1.57 + 1.44i
符号を逆にした π/2 − i log (2 + √5) ≈ 1.57 − 1.44i でも構わない。

【例5】　arccos (−2) を求める。z = −2, D = z² − 1 = 3, δ = √3 なので、
arccos (−2) = i log (−2 + √3) = i log [(−1)(2 − √3)]
= i[log (−1) + log (2 − √3)] = i[πi + log (2 − √3)]
= π + i log (2 − √3) ≈ 3.14 − 1.31i
符号を逆にした −π − i log (2 − √3) ≈ −3.14 + 1.31i でも構わない。

補足　log (−A) = log (−1) + log A は正しい変形だが、主値バージョンについて Log (−A) = Log (−1) + Log A が成り立つ保証はない。

数学・プログラミング

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触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04): 理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10): 真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03): 曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
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ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30): いいもん、いいもん！これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから！ …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24): 海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説 (2019-03-24): 我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか？　否、始まりなのだ！
ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ） (2018-01-14): 微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2　エロい感じの言葉 (2018-01-28): 「ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ）」の別解・発展。〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01): カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌　シリア語編 (2014-02-09): 「シリア語の数詞の1～10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14): キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲　（シリア語の詩） (2017-12-24): 雲さん、どこから来たんだい？／背中に何をしょってるの？／そんなに顔を曇らせて／空から何を見ているの？
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15): 「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16): 以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。〔最終更新: 2014年5月4日〕
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空は青くて真白くて (2014-11-23): 「わたしの心は躍り上がる」（ワーズワース）／「空は青くて白くて」（フィンランド民謡）

ジョーク

未来の水　フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01): 宇宙旅行のお供に／非常時の備えに…　場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ～な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01): 睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24): 海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教　「日本の影響」説も (2019-04-01): 「客舍（かくしゃ）青青（せいせい）　柳色（りゅうしょく）新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維（おうい）。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。（エイプリルフールのジョーク記事）
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ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19): JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20): お花はとってもデリケート。
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「水からの伝言」の世界 (2006-08-21): 水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会 (2009-07-31): 応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画　（チラ裏3題） (2019-04-28): バナブレは「漫画で何ができるのか？」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国（わたくに）は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か？ (2006-01-28): ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22): 「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ！」　お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏: アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20): 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門　中級編 (2004-08-27): 二つの入門編（音声タイミング・基本スタイリング）に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21): 単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009): 字幕と音声のずらし方／縁ワイプ／字幕のリップシンク／縦カラオケ／他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24): ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ？〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山　（チラ裏3題） (2019-04-14): 3丁目が見えない理由（先行きの不安）は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死ではないから星は輝く　（チラ裏3題） (2019-04-14): 「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか？ (2014-11-23): 南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」 (2004-10-04): 「天にましますわれらの父よ」　神「はい？」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04): 人間の心理的困難があまりに大きいようなので、それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語　3題 (2005-07-02): 王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03): Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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メモ -　シリア語
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