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最新記事 妖精の森 ♌ ペル方程式の夏(2020-12-27)

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チラ裏

2021-02-25 メルカトルの地図とウォリスの級数 大航海時代の「アナログGPS」

y = sec x の積分は、今では「面倒なだけの計算問題」だが、大航海時代には人命に関わる重大問題だった。

sec x = 1 / cos x = cos x / cos2 x  ………①
= cos x / (1 − sin2 x)  ………②
= cos x / [(1 + sin x)(1 − sin x)]  ………③

①で分母分子に cos x を掛けているのは、2乗を作って②から③の形にして、部分分数分解へ持ち込むため。ここまでは普通の式変形だが、ここからは、英国の John Wallis が1685年に発表した面白い計算法を紹介したい。

x が 0 以上 π/2 未満という条件を付ける。②が絶対値1未満の正の数であることに注意する。等比級数の公式によると:
  |a| < 1 ならば 1 + a + a2 + a3 + … = 1 / (1 − a)  ………④

a = sin2 x と置くと 1 / (1 − sin2 x) = 1 / (1 − a) となり、②は [1 / (1 − a)] cos x。④を逆向きに適用すると:
sec x = [1 / (1 − a)] cos x = (1 + a + a2 + a3 + …) cos x
= [1 + (sin2 x) + (sin2 x)2 + (sin2 x)3 + …] cos x
= cos x + sin2 x cos x + sin4 x cos x + sin6 x cos x + …  ………⑤

暗算できる簡単な微分 (sin x)′ = cos x, (sin3 x)′ = 3 sin2 x cos x, (sin5 x)′ = 5 sin4 x cos x, (sin7 x)′ = 7 sin6 x cos x, … を逆向きに使うと、⑤を容易に積分できる:
∫ sec x dx = sin x + sin3 x / 3 + sin5 x / 5 + sin7 x / 7 + … + C

C は積分定数。積分区間を x=0 から x=θ までとすると(0 ≤ θ < π/2):

F(θ) = 0θ sec x dx = sin θ + (sin3 θ) / 3 + (sin5 θ) / 5 + (sin7 θ) / 7 + …

何ときれいな式でしょう!

PNG画像

<例1> θ = π/6 とすると sin θ = 1/2。大ざっぱな話として、最初の3項だけを考えると:
F(π/6) ≈ 1/2 + (1/2)3 / 3 + (1/2)5 / 5 = 263/480 = 0.547…

原始関数経由で描いたグラフ(図の赤い曲線。青い曲線は y = sec θ)と見比べると、確かに横座標が θ = π/6 のとき、赤い曲線の縦座標は 0.5 くらいに見える。ちなみに正確な値は 0.54930…。

π/6 = 0.523… なので、メルカトル図法の地図では、赤道(θ = 0)から北緯30°(θ = π/6)までの長さが、正しい縮尺より5%くらい長めになる。角度を正確に表示するため、距離表示の正確さを犠牲にした。でも、上記の積分で航路の長さを補正すれば、船乗りたちは迷子にならず、正しい航海計画を立てられる。sec とその積分は、大航海時代の「手で計算するGPS」だった。

<例2> グラフの横軸 5π/12 において、赤い曲線の縦座標がちょうど2くらい(2より微妙に上)なのが目を引く。θ = 5π/12 とすると s = sin θ = 1/(√6 − √2) であり:
F(5π/12) ≈ s + s3/3 + s5/5 + s7/7 = 1.546…
いかん、約2になるはずなのに、収束が遅そうだ!
s + s3/3 + s5/5 + s7/7 + s9/9 = 1.627…
s + s3/3 + s5/5 + … + s11/11 = 1.689…
早送りしましょう。
s + s3/3 + s5/5 + … + s25/25 = 1.897…
25乗まで足しても収束する気配がない。
s + s3/3 + s5/5 + … + s53/53 = 1.998…
s + s3/3 + s5/5 + … + s55/55 = 2.001…
とりあえず、2を超えたが、先は長そう。
s + s3/3 + s5/5 + … + s101/101 = 2.02425…
s + s3/3 + s5/5 + … + s201/201 = 2.02753…
s + s3/3 + s5/5 + … + s301/301 = 2.02758…
s + s3/3 + s5/5 + … + s401/401 = 2.02758…

さすがの John Wallis も401乗までは足さなかっただろう。③を真面目に積分した方が手っ取り早いのだが、これはこれで楽しい。効率はともかく、sinの表だけ持ってれば手動で計算できるので、当時の人にとっても便利だったのかもしれない。

上記の値を 5π/12 = 1.30899… と比べると、メルカトル図法の赤道→北緯75°(θ = 5π/12)は、約1.55倍に表示される(正しい縮尺より5割以上長い)。北緯75°地点での「地図上の拡大率」は、sec θ = √6 + √2 = 3.86…。グラフの青線からも 3.9 に近いことが読み取れる。この高緯度では長さが約4倍に誇張され、赤道から通算した「平均拡大率」だと約1.55倍。ちゃんと補正しないと、まともな旅行計画が立てられないものの、「メルカトル・ナビ」は、目的地への正確な方向を示してくれる(原理的には)。GPSの電波を受信する代わりに、方位磁針で地球の磁場を受信しながら、船乗りたちは大海原を進んでいった。星座の位置を調べて、現在位置を確認しつつ…。現代の航法から見ると原始的だが、ロマンチックな感じもする。

この種の世界地図ではグリーンランドが巨大に見えるが、「北海道は大きい」というイメージにも、部分的には、緯度が高いことによる「地図上の拡大効果」が関係しているのかもしれない(本当に大きいけれど、メルカトル図法では、大きさがさらに誇張される)。

参考文献: Tuchinsky (1978), Mercator’s World Map and the Calculus, 第5節

2021-02-24 船乗りのロマン メルカトル図法とセックたん

多くの方は、メルカトルが、新しい種類の地図を考えたことをご存じだろう。「行きたい場所が、現在地から見て地図上で x° の方角なら、方位磁針を使って x° の方角に単純に真っすぐ進めばいい」…メルカトル図法は、この単純で便利な性質を持つ。

メルカトル図法には sec x と ∫ sec x dx が絡んでくるのだが、当時の人々は、まだ微積分が発見されてないのに、この計算をやっていた! それだけでも興味深い。

∫ sec x dx なんて、大抵の人にとって「無味乾燥な計算問題」だろうが、その裏にはドラマがあった。地図上の方向・計算上の距離と、実際の方向・距離がずれてたら、海上で迷子になったり食糧が足りなくなったりして、生死に関わる。この積分には、船乗りの命が懸かっていた…。

そのことを読み物として、まとめたものがこちら:
An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant
https://www.maa.org/sites/default/files/0025570x15087.di021115.02p0115x.pdf

どうして sec が関係するのか、簡単な図解を交えて、4ページ少々で紹介。当時の雰囲気・歴史的コンテキストを垣間見ることができ、結構ワクワクする。∫ sec x dx に愛着が湧く。

好奇心を感じた方は、上記を拡充した次の文献もどうぞ。
ERIC ED214787: UMAP Modules-Units 203-211, 215-216, 231-232.
PDF版  https://archive.org/download/ERIC_ED214787/ERIC_ED214787.pdf
DjVu版  https://archive.org/download/ERIC_ED214787/ERIC_ED214787.djvu
スキャンの53ページ目(※冊子に印刷されているページ番号ではない)から Mercator’s World Map and the Calculus というテキストがあって、約20ページにわたって、多くの図を交えて丁寧な説明がなされている。

なぜメルカトル図法が船乗りにとって便利なのか。一定間隔の緯度を地図上ではだんだん広くなるように描かなければならない理由。その拡大率が緯度 φ に対して sec φ になる理由。水平方向の幅もそれに比例して拡大しなければならない理由(だからグリーンランドが地図上でやけに大きく見える)。この地図上での距離は、sec の積分になること。何種類かの計算方法。簡単に、それを級数でも表現できること。

あいにく2番目の資料はノイズが多く、スキャンがぶれていて読みにくい箇所がある(1番目の資料は鮮明)。

「超お薦め」というほどではないが、興味を感じたら、のぞいてみてください。少なくとも、機械的に計算法だけ暗記するより、モチベーションが湧くでしょう。「級数で表現」の部分は特に面白いので、次回このコーナーで紹介しますね!

2021-02-22 Vorbis注意報・補足説明 Vorbis/Opus自体に問題なし

動画を一般公開する場合、Vorbis/Opus音声はリスキーであることをお伝えしました(2021-02-21のメモ)。悪いのは Vorbis ではなく VLC です。誤解のないよう、もう一度説明します。

VLC media player という特定のプレーヤーに、再生の不具合(再生側の問題)があります。Vorbis 自体(作成側・データ側)の問題ではありません。

上記のプレーヤーを使わない限り、自分用として、あるいは仲間内で、Vorbis音声やOpus音声の動画を作るのは、全く問題ありません。

一般公開する動画の場合、ダウンロードした人がどのプレーヤーを使うか分からず、もしVLCユーザーがその動画を再生しようとすると、不具合が起きる可能性が高いです。「本当は冒頭部分にも音声があるのに、映像だけが再生され音が鳴らない状態が約1秒、続く」という不具合。もともと冒頭の数秒が無音なら実害ないですが、一般的には大問題。

だから、不特定の人が再生する可能性がある動画に関しては、VLCの不具合が解決するまでの間、Vorbis/Opus を避けた方がいい。そのうちバグが修正され、ほぼ全ユーザーが修正済みバージョンに乗り換えた状態になれば、再び Vorbis 等を安心して使えますし、今現在でも「公開用ではなく、自分用に作る動画」には、安心して Vorbis 音声を使ってください。

別の角度から言うと、VLCユーザーは、他のプレーヤーへの乗り換えをご検討ください(少なくとも、この重大バグの原因が分かり、問題が解決するまでの間)。

2021-02-21 【動画作成】注意報 Vorbis/Opus音声はリスキー 直してほしいVLCのバグ

VLC の3年前(2018年)のバグ #20927 が依然未解決なので、一般公開する動画の音声に Vorbis/Opus を使わない方がいい。

これはとても残念なこと。特許で縛られている AAC より、フリーの Vorbis/Opus を使いたい。Opus には音質的メリットもあるし、Vorbis はある意味において「日本の誇り」でもある(aoTuV)。…けれど、冒頭の数秒が鳴らないのは、実用上、問題がでか過ぎる。

音声が Opus でも再現すること、現行バージョンの 3.0.x でも再現することを複数の環境で確認したため、催促のコメントを追加しておいた。どうなることやら…

OGM時代(いつの話だ…笑)から Vorbis 音声の動画を布教してきた私たちが、ここにきて AAC を推奨しなければならないのは悲しいが、鳴らないのでは話にならない…。早期解決を祈るのみ。

2021-02-21 幾何学的アプローチの長所と短所

指数関数の定義として、教科書的には次の形が代表的だろう。数学オタクにとっては当たり前の見慣れた式だが、普通の人にとっては「理解不能」に近い怖い形かもしれない。

  • ez = lim n → ∞  (1 +  z n )n

この他、無限級数を使った定義もよく見掛けるし、「微分して自分自身になる関数」という特徴付けを定義にすることもできるだろうが…。多くの人にとって、e は、訳の分からない数。使っているうちに何となくその性質・重要性がのみ込めてきて、やがて慣れてしまい「そういうものだ」と疑問を抱かなくなる。π にも、そういう面があるかもしれない。

それでいいのだろうか? 数学とは論理と直観のはず。「慣れれば分かる」などという、あやふやなことでいいわけない!

訳の分からないものを天下り的に導入して「使ってればそのうち分かるから」とか「とにかく公式を暗記しろ」とかいうアプローチでは、数学が「暗記科目」と誤解され、嫌われる原因になる。

一方、逆数のグラフの曲線の下の面積を考えることで、具体的に目に見える形で e を導入することは難しくない。対数の性質を「面積の足し算」として直観的に納得したり、e の値を自力で計算したり、幾何学的定義が「極限を使った普通の定義」と同値であることを確かめたりすることは、有意義だろう。

シェルバトフの薄い本を読んで、強い感銘を受けたが、同時に短所もあると感じた。第一に、幾何学的証明にありがちなことだが「確かにそうなる。でも、その巧妙な作図をどうやって思い付けばいいのか」。…天下り的な定義がない半面、天下り的な作図がある。第二に、数学的に厳密でない点。第三に「計算は正しいが、そのやり方は野暮ったい」という部分。第二・第三は「一般向けの啓蒙書」という性質上(きっちりした数学の専門書ではない)、当然かもしれない。むしろ「エレガント過ぎる」教科書より、多少泥くさくても実直・丁寧な方が、一般読者にはありがたい。

対数関数に関する限り、第一の問題はない。自然な作図、自然な問題意識から、スムーズに議論を展開できる。

幾何・解析のどちらにも長所があるのだから、両方のやり方をうまくミックスすれば、分かりやすく魅力的になる。今の普通のやり方は、何から何までやたらと解析的過ぎる。幾何学的方法をメインに、同じことを再構築するのは、何より自分自身の勉強になるし、興味ある読者にとって、何かの参考になるかもしれない。ただ…上記の第二の問題点は根深い。双曲回転が面積を保存することは、直観的には明らかだが、厳密に考えると面積の定義・積分の定義に依存することだろう。そうすると「幾何学的アプローチ」は、幾何のベールをまとった解析にすぎない。「フォーマルで厳密な数学」ではなく「それを直観的に理解するための、インフォーマルな作図」…というのがその本質かもしれない。

幾何学的アプローチだと、複素変数を考えることが(不可能ではないにせよ)困難。どっちにしても、どこかで解析にスイッチするしかない。でも、インフォーマルな「理解の補助」としても、同じ事柄を別方向から眺めて理解を深める点でも、幾何学的アプローチは、効果抜群だと思われる。

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。


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さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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